高考数学专题05 以双曲线为情境的中点弦问题（原卷版）

双曲线必会十大基本题型讲与练05以双曲线为情境的中点弦问题典例分析一、求中点弦所在直线的方程1．已知双曲线的离心率为2，过点的直线与双曲线C交于A，B两点，且点P恰好是弦的中点，则直线的方程为（       ）A． B． C． D．2．已知直线与双曲线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆上，则的值是________.3．过点的直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程为___________.4．双曲线的离心率为2，经过C的焦点垂直于x轴的直线被C所截得的弦长为12.(1)求C的方程；(2)设A，B是C上两点，线段AB的中点为，求直线AB的方程.二、求中点弦所在直线的斜率1．直线l交双曲线于A、B两点，且为AB的中点，则l的斜率为（       ）A．4 B．3 C．2 D．12．直线与双曲线的同一支相交于两点，线段的中点在直线上，则直线的斜率为（       ）A． B． C． D．3．已知双曲线，过点作一直线交双曲线于、两点，并使为的中点，则直线的斜率为________．4．已知双曲线M与椭圆有相同的焦点，且M与圆相切．(1)求M的虚轴长．(2)是否存在直线l，使得l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由.三、求中点弦的弦长1．已知点A，B在双曲线上，线段AB的中点为，则（       ）A． B． C． D．2．已知双曲线，过点的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（       ）A． B． C． D．3．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且双曲线过点．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于，两点，线段中点的横坐标为，求线段的长．四、求双曲线的方程1．已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（       ）A． B．C． D．2．若双曲线的左右焦点分别为，，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，，垂足为Q．当的最小值为6时，的中点在双曲线C上，则C的方程为（       ）A． B． C． D．3．过双曲线的左焦点的直线与双曲线交两点，且线段的中点坐标为，则双曲线方程是_______________.中点弦与双曲线的离心率交汇1．已知斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为，则双曲线C的离心率为（       ）A． B．2 C． D．32．过点作斜率为的直线与双曲线相交于A，B两点，若M是线段的中点，则双曲线的离心率为___________.3．已知双曲线的右焦点为，虚轴的上端点为，点，为上两点，点为弦的中点，且，记双曲线的离心率为，则______．方法点拨1：对于有关弦中点问题常用“点差法”，其解题步骤为：①设点（即设出弦的两端点坐标）；②代入（即代入圆锥曲线方程）；③作差（即两式相减，再用平方差公式分解因式）；④整理（即转化为斜率与中点坐标的关系式），然后求解.2：对于中点弦问题可采用点差法求出直线的斜率，设，为弦端点坐标，为的中点，直线的斜率为，若椭圆方程为，则，若椭圆方程为，则，若双曲线方程为，则，若双曲线方程为，则.巩固练习1．已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（       ）A． B． C． D．2．已知双曲线，以点为中点的弦所在的直线方程为（       ）A． B．C． D．3．已知倾斜角为的直线与双曲线，相交于，两点，是弦的中点，则双曲线的渐近线的斜率是（       ）A． B．C． D．4．已知双曲线，过点作直线l与双曲线交于A，B两点，则能使点P为线段AB中点的直线l的条数为(       )A．0 B．1 C．2 D．35．已知点，在双曲线上，线段的中点，则（       ）A． B． C． D．6．过点作直线l与双曲线交于P，Q两点，且使得A是的中点，直线l方程为（       ）A． B．2x+y-3=0 C．x=1 D．不存在7．（多选题）过M（1，1）作斜率为2的直线与双曲线相交于A、B两点，若M是AB的中点，则下列表述正确的是（       ）A．ba8．（多选题）已知双曲线：，其上、下焦点分别为，，为坐标原点．过双曲线上一点作直线，分别与双曲线的渐近线交于，两点，且点为中点，则下列说法正确的是（       ）A．若轴，则．B．若点的坐标为，则直线的斜率为C．直线的方程为．D．若双曲线的离心率为，则三角形的面积为2．9．（多选题）曲线：（）与直线交于A，两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，以下结论正确的是（       ）A．若，则B．若，则或C．若，则为椭圆D．若为双曲线，则10．已知双曲线，的左、右焦点分别为、，且的焦点到渐近线的距离为1，直线与交于，两点，为弦的中点，若为坐标原点）的斜率为，，则下列结论正确的是____________①；   ②的离心率为；     ③若，则的面积为2；④若的面积为，则为钝角三角形11．已知斜率为1的直线l与双曲线C：相交于B，D两点，且BD的中点为，则C的离心率是______．12．已知双曲线上存在两点关于直线对称，且的中点在抛物线上，则实数的值为________．13．已知P，Q为曲线上的两点，线段的中点为，则直线的斜率为（       ）A． B． C． D．314．已知斜率为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，的中点为，若直线的斜率为，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．15．已知点，，动点满足.(1)求动点的轨迹方程；(2)直线与点的轨迹交于，两点，若弦的中点坐标为，求直线的方程.16．已知双曲线，离心率，虚轴长为．(1)求双曲线的标准方程；(2)过点能否作直线，使直线与双曲线交于两点，且点为弦的中点?若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．17．已知抛物线：（）的焦点为，为上的动点，为在动直线（）上的投影.当为等边三角形时，其面积为.(1)求的方程；(2)设为原点，过点的直线与相切，且与椭圆交于，两点，直线与交于点.试问：是否存在，使得为的中点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.18．已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为.(1)求双曲线的标准方程；(2)若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，，线段的中垂线与轴交于点，求实数的取值范围.19．中心在原点的双曲线焦点在轴上且焦距为，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：①该曲线经过点；②该曲线的渐近线与圆相切；③点在该双曲线上，、为该双曲线的焦点，当点的纵坐标为时，恰好.(1)求双曲线的标准方程；(2)过定点能否作直线，使与此双曲线相交于、两点，且是弦的中点？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由.20．已知，如图，曲线由曲线和曲线组成，其中点F1，F2为曲线C1所在圆锥曲线的焦点，点F3，F4为曲线C2所在圆锥曲线的焦点，F2（2，0），F4（6，0）.(1)求曲线的方程；(2)如图，作直线l平行于曲线C2的渐近线，交曲线C1于点A，B，求证：弦AB的中点M必在曲线C2的另一条渐近线上.