高考数学专题06以双曲线为情境的定值问题（原卷版）

双曲线必会十大基本题型讲与练06以双曲线为情境的定值问题典例分析类型一：有关角的定值问题1．已知为坐标原点，双曲线：（，）的左焦点为，右顶点为，过点向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为，且，直线与双曲线的左支交于点，则的大小为（       ）A． B． C． D．2．在平面直角坐标系中，设是双曲线上不同于左顶点、右顶点的任意一点，记，，则的值为（       ）A． B． C． D．类型二：有关斜率的定值问题1．设双曲线C：1（a＞0，b＞0）的离心率为，A、B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线MA的斜率，则MB的斜率（       ）A．24 B． C．24 D．2．已知双曲线，过原点作直线与双曲线交于、两点，点为双曲线上异于、的动点，且直线、的斜率分别为、，若双曲线的离心率为，则（       ）A． B． C． D．3．已知双曲线上有不共线的三点，且的中点分别为，若的斜率之和为-2，则A．-4 B． C．4 D．64．（多选题）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，且双曲线的左焦点在直线上，、分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记、的斜率分别为、，则下列说法正确的是（       ）A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的方程为C．为定值 D．存在点，使得5．已知双曲线（，）的左、右顶点分别为、，离心率为2，过点斜率不为0的直线l与交于P、Q两点．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)记直线、的斜率分别为、，求证：为定值．类型三：有关距离的定值问题1．已知，是双曲线的焦点，是过焦点的弦，且的倾斜角为，那么的值为A．16 B．12 C．8 D．随变化而变化2．已知双曲线C：的左右焦点分别是，，点P是C的右支上的一点（异于顶点），过作的角平分线的垂线，垂足是M，O是原点，则（       ）A．随P点变化而变化 B．5C．4 D．23．已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，，点A是双曲线右支上一点，且（O为坐标原点），则（       ）A．2 B．3 C．4 D．54．已知双曲线，为坐标原点，，为双曲线上两动点，且，则（       ）A．2 B．1 C． D．5．已知点为坐标原点，点在双曲线上，过点作双曲线的某一条渐近线的垂线，垂足为，则的值为___________．类型四：有关面积的定值问题1．已知双曲线，过双曲线上任意一点分别作斜率为和的两条直线和，设直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，直线与轴、轴所围成的三角形的面积为，则的值为________.2．已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一个焦点坐标为(3，0)，其中一条渐近线的倾斜角的正切值为，O为坐标原点．(1)求双曲线C的方程；(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D，与双曲线C右支相切(切点不为右顶点)，且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点，证明：△MON的面积为定值，并求出该定值．类型五：有关定值的逆向问题1．已知点，是双曲线（，）的左、右顶点，，是双曲线的左、右焦点，若，是双曲线上异于，的动点，且直线，的斜率之积为定值，则（       ）A．2 B． C． D．42．已知双曲线（，），、为双曲线上关于原点对称的两点，为双曲线上的点，且直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．方法点拨定值是证明求解的一个量与参数无关,解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.巩固练习1．是双曲线的左、右顶点，为双曲线上异于的一点，则直线的斜率之积为（       ）A． B． C． D．2．已知A，B是双曲线Γ：＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，动点P在Γ上且P在第一象限．若PA，PB的斜率分别为k1，k2，则以下总为定值的是（）A．k1＋k2 B．|k1－k2|C．k1k2 D．3．已知点O为坐标原点,点M在双曲线C:x2-y2=λ(λ为正常数)上,过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线,垂足为N,则|ON|·|MN|的值为       A． B． C．λ D．无法确定4．已知双曲线E：(a＞0，b＞0)的渐近线方程为3x±4y＝0，且过焦点垂直x轴的直线与双曲线E相交弦长为，过双曲线E中心的直线与双曲线E交于A，B两点，在双曲线E上取一点C(与A，B不重合)，直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，则k1k2等于（）A． B． C． D．5．（多选题）已知双曲线，若圆与双曲线的渐近线相切，则（       ）A．双曲线的实轴长为B．双曲线的离心率C．点为双曲线上任意一点，若点到的两条渐近线的距离分别为、，则D．直线与交于、两点，点为弦的中点，若（为坐标原点）的斜率为，则6．（多选题）在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（     ）A．双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为B．双曲线的渐近线方程为C．为定值D．存在点，使得7．（多选题）已知双曲线的离心率为，其中，是双曲线的左右顶点，是双曲线上位于第一象限上的动点，记，的斜率分别是，.则下列说法正确的是（       ）A．双曲线的渐近线方程为B．为定值C．双曲线上存在点，使得D．设，是双曲线的左、右焦点，若，则8．（多选题）已知双曲线的左､右顶点分别为，，点是上的任意一点，则（       ）A．双曲线的离心率为B．焦点到渐近线的距离为3C．点到两条渐近线的距离之积为D．当与､不重合时，直线，的斜率之积为39．双曲线的虚轴长为，两条渐近线方程为，双曲线上有两个点、，直线和的斜率之积为，则_________.10．双曲线的离心率为，点，是双曲线上关于原点对称的两点，点是双曲线上异于点，的动点，若直线，的斜率都存在且分别为，则的值为___________．11．双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.12．设是双曲线上的动点,若到两条渐近线的距离分别为,,则____.13．已知直线与双曲线交于，两点，为双曲线上不同于，的点，当直线，的斜率，存在时，__________．14．双曲线与椭圆的焦点相同，且渐近线方程为，双曲线的上下顶点分别为A，B．过椭圆上顶点R的直线l与双曲线交于点P，Q（P，Q不与A，B重合），记直线的斜率为，直线的斜率为．(1)求双曲线的方程；(2)证明为定值，并求出该定值．15．已知双曲线过点，且离心率(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.16．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知，是经过圆上一点且与相切的两条直线，斜率分别为，，直线的斜率为，求证：为定值.17．已知双曲线的右焦点为，，，成等差数列，过的直线交双曲线于､两点，若双曲线过点.(1)求双曲线的标准方程；(2)过双曲线的左顶点作直线､，分别与直线交于､两点，是否存在实数，使得以为直径的圆恒过，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.18．已知椭圆：，的左右焦点，是双曲线的左右顶点，的离心率为，的离心率为，点在上，过点E和，分别作直线交椭圆于，和，点，如图.(1)求，的方程；(2)求证：直线和的斜率之积为定值；(3)求证：为定值.