高考数学专题06以双曲线为情境的定值问题(原卷版)

2023-11-14 · U1 上传 · 8页 · 475.3 K

双曲线必会十大基本题型讲与练06以双曲线为情境的定值问题典例分析类型一:有关角的定值问题1.已知为坐标原点,双曲线:(,)的左焦点为,右顶点为,过点向双曲线的一条渐近线作垂线,垂足为,且,直线与双曲线的左支交于点,则的大小为(       )A. B. C. D.2.在平面直角坐标系中,设是双曲线上不同于左顶点、右顶点的任意一点,记,,则的值为(       )A. B. C. D.类型二:有关斜率的定值问题1.设双曲线C:1(a>0,b>0)的离心率为,A、B是双曲线C上关于原点对称的两个点,M是双曲线C上异于A,B的动点,直线MA的斜率,则MB的斜率(       )A.24 B. C.24 D.2.已知双曲线,过原点作直线与双曲线交于、两点,点为双曲线上异于、的动点,且直线、的斜率分别为、,若双曲线的离心率为,则(       )A. B. C. D.3.已知双曲线上有不共线的三点,且的中点分别为,若的斜率之和为-2,则A.-4 B. C.4 D.64.(多选题)在平面直角坐标系中,已知双曲线的离心率为,且双曲线的左焦点在直线上,、分别是双曲线的左、右顶点,点是双曲线的右支上位于第一象限的动点,记、的斜率分别为、,则下列说法正确的是(       )A.双曲线的渐近线方程为 B.双曲线的方程为C.为定值 D.存在点,使得5.已知双曲线(,)的左、右顶点分别为、,离心率为2,过点斜率不为0的直线l与交于P、Q两点.(1)求双曲线的渐近线方程;(2)记直线、的斜率分别为、,求证:为定值.类型三:有关距离的定值问题1.已知,是双曲线的焦点,是过焦点的弦,且的倾斜角为,那么的值为A.16 B.12 C.8 D.随变化而变化2.已知双曲线C:的左右焦点分别是,,点P是C的右支上的一点(异于顶点),过作的角平分线的垂线,垂足是M,O是原点,则(       )A.随P点变化而变化 B.5C.4 D.23.已知双曲线C:()的左、右焦点分别为,,点A是双曲线右支上一点,且(O为坐标原点),则(       )A.2 B.3 C.4 D.54.已知双曲线,为坐标原点,,为双曲线上两动点,且,则(       )A.2 B.1 C. D.5.已知点为坐标原点,点在双曲线上,过点作双曲线的某一条渐近线的垂线,垂足为,则的值为___________.类型四:有关面积的定值问题1.已知双曲线,过双曲线上任意一点分别作斜率为和的两条直线和,设直线与轴、轴所围成的三角形的面积为,直线与轴、轴所围成的三角形的面积为,则的值为________.2.已知双曲线C:(a>0,b>0)的一个焦点坐标为(3,0),其中一条渐近线的倾斜角的正切值为,O为坐标原点.(1)求双曲线C的方程;(2)直线l与x轴正半轴相交于一点D,与双曲线C右支相切(切点不为右顶点),且l分别交双曲线C的两条渐近线于M、N两点,证明:△MON的面积为定值,并求出该定值.类型五:有关定值的逆向问题1.已知点,是双曲线(,)的左、右顶点,,是双曲线的左、右焦点,若,是双曲线上异于,的动点,且直线,的斜率之积为定值,则(       )A.2 B. C. D.42.已知双曲线(,),、为双曲线上关于原点对称的两点,为双曲线上的点,且直线、的斜率分别为、,若,则双曲线的离心率为(       )A. B. C. D.方法点拨定值是证明求解的一个量与参数无关,解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.巩固练习1.是双曲线的左、右顶点,为双曲线上异于的一点,则直线的斜率之积为(       )A. B. C. D.2.已知A,B是双曲线Γ:=1(a>0,b>0)的左、右顶点,动点P在Γ上且P在第一象限.若PA,PB的斜率分别为k1,k2,则以下总为定值的是()A.k1+k2 B.|k1-k2|C.k1k2 D.3.已知点O为坐标原点,点M在双曲线C:x2-y2=λ(λ为正常数)上,过点M作双曲线C的某一条渐近线的垂线,垂足为N,则|ON|·|MN|的值为       A. B. C.λ D.无法确定4.已知双曲线E:(a>0,b>0)的渐近线方程为3x±4y=0,且过焦点垂直x轴的直线与双曲线E相交弦长为,过双曲线E中心的直线与双曲线E交于A,B两点,在双曲线E上取一点C(与A,B不重合),直线AC,BC的斜率分别为k1,k2,则k1k2等于()A. B. C. D.5.(多选题)已知双曲线,若圆与双曲线的渐近线相切,则(       )A.双曲线的实轴长为B.双曲线的离心率C.点为双曲线上任意一点,若点到的两条渐近线的距离分别为、,则D.直线与交于、两点,点为弦的中点,若(为坐标原点)的斜率为,则6.(多选题)在平面直角坐标系中,已知双曲线的离心率为,分别是双曲线的左,右顶点,点是双曲线的右支上位于第一象限的动点,记,的斜率分别为,则(     )A.双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时,双曲线的方程为B.双曲线的渐近线方程为C.为定值D.存在点,使得7.(多选题)已知双曲线的离心率为,其中,是双曲线的左右顶点,是双曲线上位于第一象限上的动点,记,的斜率分别是,.则下列说法正确的是(       )A.双曲线的渐近线方程为B.为定值C.双曲线上存在点,使得D.设,是双曲线的左、右焦点,若,则8.(多选题)已知双曲线的左、右顶点分别为,,点是上的任意一点,则(       )A.双曲线的离心率为B.焦点到渐近线的距离为3C.点到两条渐近线的距离之积为D.当与、不重合时,直线,的斜率之积为39.双曲线的虚轴长为,两条渐近线方程为,双曲线上有两个点、,直线和的斜率之积为,则_________.10.双曲线的离心率为,点,是双曲线上关于原点对称的两点,点是双曲线上异于点,的动点,若直线,的斜率都存在且分别为,则的值为___________.11.双曲线的左右顶点为,以为直径作圆,为双曲线右支上不同于顶点的任一点,连接交圆于点,设直线的斜率分别为,若,则_____.12.设是双曲线上的动点,若到两条渐近线的距离分别为,,则____.13.已知直线与双曲线交于,两点,为双曲线上不同于,的点,当直线,的斜率,存在时,__________.14.双曲线与椭圆的焦点相同,且渐近线方程为,双曲线的上下顶点分别为A,B.过椭圆上顶点R的直线l与双曲线交于点P,Q(P,Q不与A,B重合),记直线的斜率为,直线的斜率为.(1)求双曲线的方程;(2)证明为定值,并求出该定值.15.已知双曲线过点,且离心率(1)求该双曲线的标准方程:(2)如果,为双曲线上的动点,直线与直线的斜率互为相反数,证明直线的斜率为定值,并求出该定值.16.在平面直角坐标系中,已知点,,点满足,记点的轨迹为.(1)求的方程;(2)已知,是经过圆上一点且与相切的两条直线,斜率分别为,,直线的斜率为,求证:为定值.17.已知双曲线的右焦点为,,,成等差数列,过的直线交双曲线于、两点,若双曲线过点.(1)求双曲线的标准方程;(2)过双曲线的左顶点作直线、,分别与直线交于、两点,是否存在实数,使得以为直径的圆恒过,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.18.已知椭圆:,的左右焦点,是双曲线的左右顶点,的离心率为,的离心率为,点在上,过点E和,分别作直线交椭圆于,和,点,如图.(1)求,的方程;(2)求证:直线和的斜率之积为定值;(3)求证:为定值.

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