高考数学专题04 以双曲线为情境的最值或范围问题(原卷版)

2023-11-14 · U1 上传 · 9页 · 565.7 K

双曲线必会十大基本题型讲与练04以双曲线为情境的最值或范围问题典例分析类型一:数形结合解决与双曲线交汇的最值问题1.已知双曲线C的一条渐近线为直线,C的右顶点坐标为,右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点,点A的坐标为,则的最小值为(       )A. B. C. D.2.已知点A在双曲线C:(b>0)上,且双曲线C的上、下焦点分别为F1,F2,点B在∠F1AF2的平分线上,BF2⊥AB,若点D在直线l:,则|BD|的最小值为(       )A. B. C. D.3.设是双曲线的两个焦点,是双曲线上任意一点,过作平分线的垂线,垂足为,则点到直线的距离的最大值是(     ).A.4 B.5 C.6 D.3类型二:双曲线与基本不等式交汇的最值或范围问题1.已知双曲线:的左、右焦点分别为,,其离心率为,过坐标原点的直线交双曲线于A,两点,为双曲线上异于A,的一动点,设,的斜率分别为,,则的最小值为(       )A. B. C. D.2.设为双曲线:(,)的右焦点,为坐标原点,过做的一条渐近线的垂线,垂足为,的面积最小值为16,则的焦距的最小值为(       )A.4 B.8 C.16 D.323.已知双曲线C:,P为双曲线C上的一点,若点P到双曲线C的两条渐近线的距离之积为1,则双曲线的半焦距c的取值范围是(       )A. B. C. D.4.已知直线与双曲线相交于两点,为坐标原点,若,则的最小值为(  )A.20 B.22 C.24 D.25类型三:利用不等式思想解决与双曲线有关最值或范围问题1.已知、分别为双曲线的左、右焦点,且、、成等比数列,为双曲线右支上一点,为的内切圆圆心.若实数满足(表示相应三角形面积)恒成立,则的取值范围为(       )A.B.C.D.2.已知直线是双曲线的两条渐近线,点是双曲线上一点,若点到渐近线的距离的取值范围是,则点到渐近线的距离的取值范围是__________.3.已知、分别为双曲线的左、右焦点,为双曲线右支上一点,满足,直线与圆有公共点,则双曲线的离心率的取值范围是___________.4.已知双曲线的左焦点为,右顶点为,点是其渐近线上的一点,且以为直径的圆过点,,点为坐标原点.(1)求双曲线的标准方程;(2)当点在轴上方时,过点作轴的垂线与轴相交于点,设直线与双曲线相交于不同的两点、,若,求实数的取值范围.类型四:利用函数思想解决与双曲线有关最值或范围问题1.已知分别是双曲线的左、右焦点,点是双曲线上位于第一象限的一点,线段过点且,的平分线与线段交于点,与轴交于点,则的取值范围为(       )A. B. C. D.【答案】C2.已知实数满足,则的取值范围是____________3.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点为双曲线的右顶点,过点的直线与双曲线的右支交于,两点,设点,分别为,的内心,则的取值范围为__________.4.如图,已知椭圆与等轴双曲线共顶点,过椭圆上一点P(2,-1)作两直线与椭圆相交于相异的两点A,B,直线PA,PB的倾斜角互补.直线AB与x,y轴正半轴相交,分别记交点为M,N.(1)若的面积为,求直线AB的方程;(2)若AB与双曲线的左、右两支分别交于Q,R,求的范围.方法点拨求解与双曲线有关的范围(或最值)问题的方法(1)几何法:如果题中给出的条件有明显的几何特征,那么可以考虑用图形的性质来求解,特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.(2)代数法:若题中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,将双曲线的范围(或最值)问题转化为二次函数或三角函数等函数的范围(或最值)问题,然后利用配方法、判别式法、基本不等式法、函数的单调性及三角函数的有界性等求解.(3)不等式法:借助题目给出的不等信息列出不等关系式求解.巩固练习1.已知是双曲线上的动点,是圆上的动点,则两点间的最短距离为(       )A.B.C.D.2.已知双曲线的左右焦点分别为为双曲线上一点,若,则的取值范围是(       )A. B. C. D.3.已知,是双曲线上的一点,半焦距为,若(其中为坐标原点),则的取值范围是(       )A. B. C. D.4.已知双曲线的右焦点为F,,直线MF与y轴交于点N,点P为双曲线上一动点,且,直线MP与以MN为直径的圆交于点M、Q,则的最大值为(       )A.48 B.49 C.50 D.424.设双曲线的焦距为2,若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切,则长的取值范围是(       )A. B. C. D.5.设双曲线的离心率为,A,B是双曲线C上关于原点对称的两个点,M是双曲线C上异于A,B的动点,直线斜率分别,若,则的取值范围为(       )A. B. C. D.6.已知、是双曲线上关于原点对称的两点,是上异于、的动点,设直线、的斜率分别为、.若直线与曲线没有公共点,当双曲线的离心率取得最大值时,且,则的取值范围是(       )A. B. C. D.7.(多选题)若双曲线的实轴长为6,焦距为10,右焦点为,则下列结论正确的是(       )A.的焦点到渐近线的距离为4 B.的离心率为C.上的点到距离的最小值为2 D.过的最短的弦长为8.(多选题)在平面直角坐标系中,设双曲线的右焦点为,直线过点,与双曲线的右支交于点,,点在双曲线的右支上,则(       )A.直线是双曲线的一条渐近线B.点与直线的距离的最小值为1C.线段的最短长度为1D.线段的最短长度为69.(多选题)已知P是双曲线C:上任意一点,A,B是双曲线的两个顶点,设直线PA,PB的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若|k1|+|k2|≥t恒成立,且实数t的最大值为1,则下列说法正确的是(       )A.双曲线的方程为B.双曲线的离心率为C.函数(a>0,a≠1)的图象恒过双曲线C的一个焦点D.设F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若△PF1F2的面积为,则∠PF1F2=10.(多选题)已知为双曲线上的动点,过作两渐近线的垂线,垂足分别为,,记线段,的长分别为,,则(       )A.若,的斜率分别为,,则 B.C.的最小值为 D.的最小值为11.(多选题)双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点,点是双曲线上的动点,则的值可能为A.4 B. C.2 D.12.已知双曲线C的方程为,,,双曲线C上存在一点P,使得,则实数a的最大值为___________.13.已知椭圆,双曲线与椭圆共焦点,且与椭圆在四个象限的交点分别为,则四边形面积的最大值是___________.14.已知双曲线,双曲线上右支上有任意两点、,满足恒成立,则的取值范围是________15.已知是双曲线上的一点,半焦距为,若(其中为坐标原点),则的取值范围是___________.16.已知双曲线的离心率为2,且双曲线C与椭圆有相同的焦点.点P在双曲线C上,过点P分别作双曲线C两条渐近线的垂线,垂足分别为A,B,则的最小值为________17.设,是双曲线的两个焦点,是双曲线上任意一点,过作平分线的垂线,垂足为,则点到直线的距离的最大值是______.18.已知双曲线(,)的左、右焦点分别为、,双曲线的右顶点在圆上,且.(1)求双曲线的标准方程;(2)动直线与双曲线恰有1个公共点,且与双曲线的两条渐近线分别交于点、,设为坐标原点.①求证:点与点的横坐标的积为定值;②求△周长的最小值.19.已知双曲线C:的左右顶点分别为,,两条准线之间的距离为1.(1)求双曲线C的标准方程;(2)若点P为右准线上一点,直线PA与C交于A,M,直线PB与C交于B,N,求点B到直线MN的距离的最大值.20.已知,是双曲线的左、右焦点,且双曲线过点,.(1)求双曲线的方程;(2)已知过点的直线交双曲线左、右两支于,两点,交双曲线的渐近线于,(点位于轴的右侧)两点,求的取值范围.21.已知双曲线C:的离心率为,过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为.(1)求双曲线C的方程;(2)直线()与该双曲线C交于不同的两点A,B,且A,B两点都在以点为圆心的同一圆上,求m的取值范围.22.在一张纸上有一圆:,定点,折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合,这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ,设折痕PQ与直线的交点为T.(1)求证:为定值,并求出点的轨迹方程;(2)曲线上一点P,点A、B分别为直线:在第一象限上的点与:在第四象限上的点,若,,求面积的取值范围.23.设双曲线的右顶点为,虚轴长为,两准线间的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)设动直线与双曲线交于两点,已知,设点到动直线的距离为,求的最大值.24.已知双曲线:(,)交轴于两点,是双曲线上异于的任意一点,直线分别交轴于点,,且双曲线离心率为2.(1)求双曲线的标准方程;(2)设直线l:()与双曲线交于两点,为双曲线虚轴在轴正半轴的端点,若,求实数的取值范围.25.已知双曲线的离心率为,A、F分别为左顶点和右焦点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于第一象限的点B,的面积为(1)求双曲线的方程;(2)若直线与双曲线的左、右两支分别交于M,N两点,与双曲线的两条渐近线分别交于P,Q两点,,求实数的取值范围.

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