高考数学专题10以双曲线为情境的探索性问题（原卷版）

双曲线必会十大基本题型讲与练10以双曲线的为情境的探索性问题典例分析类型一：探索定值的存在性1．已知为坐标原点，椭圆：的焦距为，直线截圆：与椭圆所得的弦长之比为，椭圆与轴正半轴的交点分别为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点（且）为椭圆上一点，点关于轴的对称点为，直线，分别交轴于点，.试判断是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由.2．设双曲线C：，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点.（1）求直线l倾斜角θ的取值范围；（2）直线l交直线于点P，且点A在点P，F之间，试判断是否为定值，并证明你的结论.3．已知双曲线的左、右顶点分别为、，动直线与圆相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为.（1）求的取值范围，并求的最小值；（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，那么，是定值吗？证明你的结论.类型二：探索参数的存在性1．设直线：与双曲线：相交于A，B两点，为坐标原点．（1）为何值时，以为直径的圆过原点？（2）是否存在实数，使且？若存在，求的值，若不存在，说明理由．2．已知，，（1）求点的轨迹C的方程；（2）若直线与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的同一侧，求实数k的取值范围.（3）设曲线C与x轴的交点为M，若直线与曲线C交于A、B两点，是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过点M？若有，求出k的值；若没有，写出理由.3．已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，为的左，右顶点.（1）求双曲线的标准方程；（2）若直线过点交双曲线的右支于两点，设直线斜率分别为，是否存在实数入使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.类型三：探索动点的存在性1．圆：，圆：，圆、关于直线l对称．（1）求直线l的方程；（2）直线l上是否存在点Q，使点Q到点的距离减去点Q到点的距离的差为4，如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．2．已知等轴双曲线：的右焦点为，为坐标原点，过作一条渐近线的垂线且垂足为，.（1）求等轴双曲线的方程；（2）若过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点，求的值；（3）假设过点的动直线与双曲线交于、两点，试问：在轴上是否存在定点，使得为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，试说明理由.方法点拨1、存在性问题一般分为探究条件和探究结论两种类型.若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在.若探究结论，则应先写出结论的表达式，再针对表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论.2．圆锥曲线中存在性问题的求解方法(1)存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．(2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．巩固练习1．过（0，2）点作斜率为k的直线l与双曲线有两个不同交点P和Q.⑴求k的取值范围.⑵是否存在斜率k，使得向量与双曲线的一条渐近线的方向向量平行.若存在，求出k的值;若不存在，说明理由.2．已知动圆C过点A(－2，0)，且与圆相内切．(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；(2)设直线:y=kx+m(其中k，m∈Z)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交于不同两点E，F，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由3．已知双曲线：的右焦点为，在的两条渐近线上的射影分别为、，是坐标原点，且四边形是边长为2的正方形．（1）求双曲线的方程；（2）过的直线交于A,B两点，线段AB的中点为M，问是否能成立？若成立，求直线的方程；若不成立，请说明理由．4．已知，点满足，记点的轨迹为.斜率为的直线过点，且与轨迹相交于两点.（1）求轨迹的方程；（2）求斜率的取值范围；（3）在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求出定点；如果不存在，请说明理由.5．如图，已知圆和双曲线，记与轴正半轴、轴负半轴的公共点分别为、，又记与在第一、第四象限的公共点分别为、.（1）若，且恰为的左焦点，求的两条渐近线的方程；（2）若，且，求实数的值；（3）若恰为的左焦点，求证：在轴上不存在这样的点，使得.6．如图，已知双曲线的两条渐近线分别为.为坐标原点，动直线分别交直线于两点(分别在第一､四象限)，且的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由.7．直线上的动点到点的距离是它到点的距离的3倍.（1）求点的坐标；（2）设双曲线的右焦点是，双曲线经过动点，且，求双曲线的方程；（3）点关于直线的对称点为，试问能否找到一条斜率为（）的直线与（2）中的双曲线交于不同的两点、，且满足，若存在，求出斜率的取值范围，若不存在，请说明理由.8．如图，椭圆与一等轴双曲线相交，是其中一个交点，并且双曲线的顶点是该椭圆的焦点，，双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点，设为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线的斜率分别为，且直线和与椭圆的交点分别为、和、.（1）求椭圆和双曲线的标准方程；（2）（i）证明：；（ii）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.9．已知椭圆的离心率为，其右顶点为，下顶点为，定点，的面积为，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，直线分别与轴交于两点.（1）求椭圆的方程；（2）试探究的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.10．已知的边所在直线的方程为，满足，点在所在直线上且.（1）求外接圆的方程；（2）一动圆过点，且与的外接圆外切，求此动圆圆心的轨迹的方程；（3）过点斜率为的直线与曲线交于相异的，两点，满足，求的取值范围.11．已知二次曲线的方程：．（1）分别求出方程表示椭圆和双曲线的条件；（2）若双曲线与直线有公共点且实轴最长，求双曲线方程；（3）为正整数，且，是否存在两条曲线，其交点P与点满足，若存在，求的值；若不存在，说明理由．12．已知双曲线的焦距为，坐标原点到直线的距离是，其中，的坐标分别为，.（1）求双曲线的方程；（2）是否存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形?若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由.13．在一张纸片上，画有一个半径为2的圆（圆心为M）和一个定点N，且MN=6，若在圆上任取一点A，将纸片折叠使得A与N重合，得到折痕BC，直线BC与直线AM交于点P.（1）若以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线作为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求点P的轨迹方程；（2）在（1）的条件下，点，能否找到点P使得△PNQ的周长最小，若存在求出该最小值及点P坐标，若不存在，请说出理由.14．已知动圆P过点并且与圆相外切，动圆圆心P的轨迹为W，过点N的直线与轨迹W交于A、B两点．（1）求轨迹W的方程；（2）若，求直线的方程；（3）对于任意一确定的位置，在直线上是否存在一点Q，使得，并说明理由．