高考数学专题02双曲线的焦点三角形问题(原卷版)

2023-11-14 · U1 上传 · 9页 · 562.9 K

双曲线必会十大基本题型讲与练02双曲线的焦点三角形问题一、焦点三角形面积问题1.已知双曲线:的上、下焦点分别为,,为双曲线上一点,且满足,则的面积为(       )A. B. C. D.2.(多选题)已知点P在双曲线上,,分别是左、右焦点,若的面积为20,则下列判断正确的有()A.点P到x轴的距离为 B.C.为钝角三角形 D.3.已知是双曲线的两个焦点,P为双曲线C上的一点.若为直角三角形,则的面积等于______________.二、焦点三角形周长问题1.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,在左支上过F1的弦AB的长为5,若2a=8,那么△ABF2的周长是()A. B. C. D.2.已知双曲线的右焦点为,是双曲线的左支上一点,,则的周长的最小值为()A.B.C.D.3.如图双曲线的焦点为,过左焦点倾斜角为的直线与交于两点.(1)求弦长的值;(2)求的周长.三、焦点三角形形状的判断与应用1.已知有相同焦点,的椭圆和双曲线,是它们的一个交点,则的形状是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.以上均有可能2.设,为双曲线的两个焦点,点在双曲线上且满足,则的面积为()A.2 B. C.4 D.3.已知F1,F2是双曲线C:(,)的两个焦点,C的离心率为5,点在C上,,则的取值范围是(            )A. B.C. D.4.已知,分别是双曲线的左右焦点,点B为C的左顶点,动点A在C上,当时,,且,则C的方程为(       )A. B. C. D.四、有关焦点三角形的内角问题1.设椭圆和双曲线的公共焦点为,,是两曲线的一个交点,则的值为(   )A.B.C. D.2.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作圆的切线,交双曲线右支于,若,则的渐近线方程为(       )A. B.C. D.3.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于()A.2 B.4 C.6 D.84.在平面直角坐标系中,曲线的左,右焦点分别为,,点A是以线段为直径的圆与双曲线C在第一象限内的交点,过点A且与直线垂直的直线与x轴相交于点B,若,则双曲线C的离心率为(       )A. B. C.2 D.五、有关焦点三角形的内切圆问题1.(多选题)已知为双曲线(,)右支上一点,,分别为双曲线的左、右焦点,是的内心,双曲线的离心率为,,,的面积分别为,,,且,下列结论正确的为()A. B.C.在定直线上 D.若,则或2.(多选题)已知P是双曲线在第一象限上一点,F1,F2分别是E的左、右焦点,的面积为.则以下结论正确的是()A.点P的横坐标为B.C.的内切圆半径为1D.平分线所在的直线方程为3.已知,分别是双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上除右顶点之外的一点.(1)若,求的面积(2)若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点,求内切圆的圆心轨迹方程.方法点拨双曲线定义的应用策略1、根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求求出曲线方程.2、将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|-|PF2||=2a(其中0<2a<|F1F2|)与正弦定理、余弦定理结合,解决焦点三角形问题.3、利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题,如最值问题、距离问题.[提醒]利用双曲线的定义解决问题时应注意三点:(1)距离之差的绝对值,若将定义中的绝对值去掉,则点的轨迹是双曲线的一支;(2)2a<|F1F2|;(3)焦点所在坐标轴的位置.巩固练习1.在直角坐标系中,设为双曲线的右焦点,为双曲线的右支上一点,且为正三角形,则双曲线的离心率为(       )A. B. C. D.2.已知双曲线:,点是的左焦点,若点为右支上的动点,设点到的一条渐近线的距离为,则的最小值为(       )A.6 B.7 C.8 D.93.从双曲线的左焦点F引圆的切线交双曲线右支于P点,若M为线段PF的中点,O为坐标原点,则以PF为直径的圆与圆O的位置关系是(       )A.相离 B.相交 C.内切 D.内含4.设双曲线的左、右焦点分别为,,点P在双曲线上,下列说法正确的是()A.若为直角三角形,则的周长是B.若为直角三角形,则的面积是6C.若为锐角三角形,则的取值范围是D.若为钝角三角形,则的取值范围是5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,第九章“勾股”,讲述了“勾股定理”及一些应用,直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”,且“”.设分别是双曲线的左、右焦点,直线交双曲线左、右两支于两点,若恰好是的“勾”“股”,则此双曲线的离心率为(       )A. B. C.2 D.6.已知、分别是双曲线的左、右焦点,为一条渐近线上的一点,且,则的面积为(       )A. B. C. D.17.已知双曲线的左、右焦点分别为,,点,均在双曲线的右支上,其中点在第一象限,,,三点共线,且,若,则双曲线的渐近线方程为(       ).A. B.C. D.8.(多选题)已知,是双曲线的左、右焦点,过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点,,下列判断正确的是(       )A., B.C.的离心率等于 D.的渐近线方程为9.(多选题)设双曲线C:的左、右焦点分别为,,B为双曲线C上一点,且,则以下结论正确的是(       )A.双曲线C的离心率B.双曲线C的渐近线方程为C.D.若的面积为3,则10.(多选题)已知双曲线的左、右焦点分别为,点在双曲线的右支上,若,的面积为,则下列选项正确的是(       )A.若,则B.若,则C.若为锐角三角形,则D.若的重心为,随着点的运动,点的轨迹方程为11.(多选题)已知双曲线的离心率为,左、右焦点分别为、,过点的直线与双曲线右支交于P,Q两点,且,下列说法正确的是(       )A.与双曲线的实轴长相等B.C.若在以为直径的圆上,则双曲线的渐近线方程为D.若,则直线的斜率为12.(多选题)已知点P是双曲线的右支上一点,为双曲线E的左、右焦点,的面积为20,则下列说法正确的是()A.点P的横坐标为 B.的周长为C.大于 D.的内切圆半径为13.已知椭圆和双曲线有公共的焦点、,曲线和在第一象限相交于点P.且,若椭圆的离心率的取值范围是,则双曲线的离心率的取值范围是___________.14.已知双曲线的左、右焦点分别为,以为顶点为焦点作抛物线,若双曲线与抛物线交于点,且,则抛物线的准线方程是__.15.已知分别为双曲线的两个焦点,曲线上的点P到原点的距离为b,且,则该双曲线的离心率为______.16.已知双曲线,的左、右焦点分别为、,且的焦点到渐近线的距离为1,直线与交于,两点,为弦的中点,若为坐标原点)的斜率为,,则下列结论正确的是____________①;   ②的离心率为;     ③若,则的面积为2;④若的面积为,则为钝角三角形17.已知双曲线C:的左、右焦点分别为.点为双曲线上一点,且点P在第一象限,.(1)求的正弦值;(2)求点P的纵坐标.18.已知双曲线的左、右焦点分别为,,过作倾斜角为的弦AB.求:(1)AB的长;(2)的周长.19.已知双曲线与双曲线的渐近线相同,且经过点.(1)求双曲线的方程;(2)已知双曲线的左右焦点分别为,,直线经过,斜率为,与双曲线交于,两点,求的面积.20.已知,曲线由曲线和曲线组成,其中曲线的右焦点为,曲线的左焦点.(1)求的值;(2)若直线过点交曲线于点,求面积的最大值.21.已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数,的左、右焦点分别为,,且到的一条渐近线的距离为1.(1)求的标准方程;(2)若是与在第一象限的交点,与的另一个交点为P,与的另一个交点为,与的面积分别为,,求.22.已知双曲线C经过点,它的两条渐近线分别为和.(1)求双曲线C的标准方程;(2)设双曲线C的左、右焦点分别为、,过左焦点作直线l交双曲线的左支于A、B两点,求周长的取值范围.

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