高考数学专题02双曲线的焦点三角形问题（原卷版）

双曲线必会十大基本题型讲与练02双曲线的焦点三角形问题一、焦点三角形面积问题1．已知双曲线：的上、下焦点分别为，，为双曲线上一点，且满足，则的面积为（       ）A． B． C． D．2．（多选题）已知点P在双曲线上，，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（）A．点P到x轴的距离为 B．C．为钝角三角形 D．3．已知是双曲线的两个焦点，P为双曲线C上的一点.若为直角三角形，则的面积等于______________.二、焦点三角形周长问题1．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（）A． B． C． D．2．已知双曲线的右焦点为，是双曲线的左支上一点，，则的周长的最小值为（）A．B．C．D．3．如图双曲线的焦点为，过左焦点倾斜角为的直线与交于两点．(1)求弦长的值；(2)求的周长．三、焦点三角形形状的判断与应用1．已知有相同焦点，的椭圆和双曲线，是它们的一个交点，则的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．以上均有可能2．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（）A．2 B． C．4 D．3．已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（            ）A． B．C． D．4．已知，分别是双曲线的左右焦点，点B为C的左顶点，动点A在C上，当时，，且，则C的方程为（       ）A． B． C． D．四、有关焦点三角形的内角问题1．设椭圆和双曲线的公共焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为（   ）A．B．C． D．2．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作圆的切线，交双曲线右支于，若，则的渐近线方程为（       ）A． B．C． D．3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于（）A．2 B．4 C．6 D．84．在平面直角坐标系中，曲线的左，右焦点分别为，，点A是以线段为直径的圆与双曲线C在第一象限内的交点，过点A且与直线垂直的直线与x轴相交于点B，若，则双曲线C的离心率为（       ）A． B． C．2 D．五、有关焦点三角形的内切圆问题1．（多选题）已知为双曲线（，）右支上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，是的内心，双曲线的离心率为，，，的面积分别为，，，且，下列结论正确的为（）A． B．C．在定直线上 D．若，则或2．（多选题）已知P是双曲线在第一象限上一点，F1，F2分别是E的左、右焦点，的面积为．则以下结论正确的是（）A．点P的横坐标为B．C．的内切圆半径为1D．平分线所在的直线方程为3．已知，分别是双曲线的左､右焦点，P为双曲线右支上除右顶点之外的一点.（1）若，求的面积（2）若该双曲线与椭圆有共同的焦点且过点，求内切圆的圆心轨迹方程.方法点拨双曲线定义的应用策略1、根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求求出曲线方程．2、将双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2||＝2a(其中0＜2a＜|F1F2|)与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题．3、利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题．[提醒]利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：(1)距离之差的绝对值，若将定义中的绝对值去掉，则点的轨迹是双曲线的一支；(2)2a＜|F1F2|；(3)焦点所在坐标轴的位置．巩固练习1．在直角坐标系中，设为双曲线的右焦点，为双曲线的右支上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．2．已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（       ）A．6 B．7 C．8 D．93．从双曲线的左焦点F引圆的切线交双曲线右支于P点，若M为线段PF的中点，O为坐标原点，则以PF为直径的圆与圆O的位置关系是（       ）A．相离 B．相交 C．内切 D．内含4．设双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线上，下列说法正确的是（）A．若为直角三角形，则的周长是B．若为直角三角形，则的面积是6C．若为锐角三角形，则的取值范围是D．若为钝角三角形，则的取值范围是5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”，且“”.设分别是双曲线的左、右焦点，直线交双曲线左、右两支于两点，若恰好是的“勾”“股”，则此双曲线的离心率为（       ）A． B． C．2 D．6．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（       ）A． B． C． D．17．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，均在双曲线的右支上，其中点在第一象限，，，三点共线，且，若，则双曲线的渐近线方程为（       ）．A． B．C． D．8．（多选题）已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交轴与双曲线右支于点，，下列判断正确的是（       ）A．， B．C．的离心率等于 D．的渐近线方程为9．（多选题）设双曲线C：的左、右焦点分别为，，B为双曲线C上一点，且，则以下结论正确的是（       ）A．双曲线C的离心率B．双曲线C的渐近线方程为C．D．若的面积为3，则10．（多选题）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，若，的面积为，则下列选项正确的是（       ）A．若，则B．若，则C．若为锐角三角形，则D．若的重心为，随着点的运动，点的轨迹方程为11．（多选题）已知双曲线的离心率为，左、右焦点分别为、，过点的直线与双曲线右支交于P，Q两点，且，下列说法正确的是（       ）A．与双曲线的实轴长相等B．C．若在以为直径的圆上，则双曲线的渐近线方程为D．若，则直线的斜率为12．（多选题）已知点P是双曲线的右支上一点，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（）A．点P的横坐标为 B．的周长为C．大于 D．的内切圆半径为13．已知椭圆和双曲线有公共的焦点､，曲线和在第一象限相交于点P.且，若椭圆的离心率的取值范围是，则双曲线的离心率的取值范围是___________.14．已知双曲线的左、右焦点分别为，以为顶点为焦点作抛物线，若双曲线与抛物线交于点，且，则抛物线的准线方程是__．15．已知分别为双曲线的两个焦点，曲线上的点P到原点的距离为b，且，则该双曲线的离心率为______.16．已知双曲线，的左、右焦点分别为、，且的焦点到渐近线的距离为1，直线与交于，两点，为弦的中点，若为坐标原点）的斜率为，，则下列结论正确的是____________①；   ②的离心率为；     ③若，则的面积为2；④若的面积为，则为钝角三角形17．已知双曲线C：的左、右焦点分别为．点为双曲线上一点，且点P在第一象限，．(1)求的正弦值；(2)求点P的纵坐标．18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为的弦AB．求：(1)AB的长；(2)的周长．19．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．（1）求双曲线的方程；（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积．20．已知，曲线由曲线和曲线组成，其中曲线的右焦点为，曲线的左焦点.（1）求的值；（2）若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.21．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，的左､右焦点分别为，，且到的一条渐近线的距离为1.(1)求的标准方程；(2)若是与在第一象限的交点，与的另一个交点为P，与的另一个交点为，与的面积分别为，，求.22．已知双曲线C经过点，它的两条渐近线分别为和.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设双曲线C的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线l交双曲线的左支于A､B两点，求周长的取值范围.