解三角形中的结构不良问题 学生版

解三角形中的结构不良问题知识点梳理一、“结构不良问题”的解题策略(1)题目所给的三个可选择的条件是平行的，无论选择哪个条件，都可解答题目；(2)在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分，但计算要细心、准确，避免出现低级错误导致失分．二、“正弦定理”与“余弦定理”的选用策略在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．(1)如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；(2)如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；(3)以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．三、“边化角”或“角化边”的变换策略(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理．题型精讲精练1在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2bcosC=2a-c(1)求角B；16π(2)在①△ABC的外接圆的面积为，②△ABC的周长为12，③b=4，这三个条件中任选一个，求3△ABC的面积的最大值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.·1·【题型训练1-刷真题】一、解答题π1(2023·北京·统考高考真题)设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφω>0,|φ|<．23(1)若f(0)=-，求φ的值．2π2π2π(2)已知f(x)在区间-,上单调递增，f=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择333一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω,φ的值．π条件①：f=2；3π条件②：f-=-1；3ππ条件③：f(x)在区间-,-上单调递减．23注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2π2(2021·北京·统考高考真题)在△ABC中，c=2bcosB，C=．3(1)求∠B；(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上中线的长．条件①：c=2b；条件②：△ABC的周长为4+23；33条件③：△ABC的面积为；4·2·【题型训练2-刷模拟】一、解答题3(2023·四川·校联考模拟预测)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．在下列三个322条件①m=sinA,-，n=2cos2A,2cosA，且m⎳n；②asinB=3bcosA；③cosB+cosC=2cos2A+1-sinBsinC中任选一个，回答下列问题．(1)求A；(2)若a=2，求△ABC面积的最大值．24(2023·北京东城·统考模拟预测)已知函数fx=23sinωxcosωx-2sinωx+10<ω<2.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：π条件①：在fx图象上相邻的两个对称中心的距离为；2π条件②：fx的一条对称轴为x=.6(1)求ω；πππ(2)将fx的图象向右平移个单位(纵坐标不变)，得到函数gx的图象，求函数gx在-,上333的值域.·3·πa+bπ5(2023·全国·模拟预测)在①bsinC+3ccosB=3a，②sinB+=，③asinC+=62c3csinA这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C；(2)若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．16(2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，sinB=，3且．(1)求△ABC的面积；2(2)若sinAsinC=，求b．3在①a2-b2+c2=2，②AB⋅BC=-1这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．·4·7(2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测)△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为222△ABC的内心，记△OBC，△OAC,△OAB的面积分别为S1，S2，S3，已知S1+S3-S1S3=S2，AB=2．(1)若△ABC为锐角三角形，求AC的取值范围；1-2cosA1-2cosB(2)在①4sinBsinA+cos2A=1；②+=0；③acosC+ccosA=1中选一个作为条sinAsinB件，判断△ABC是否存在，若存在，求出△ABC的面积，若不存在，说明理由．(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．)8(2023·四川成都·四川省成都列五中学校考模拟预测)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,3b,c，且a-ccosB=bsinC.3(1)求角C的大小；(2)若c=23，且，求△ABC的周长.请在下列三个条件中，选择其中的一个条件补充到上面的横132线中，并完成作答.①sinAsinB=；②△ABC的面积为；③CA⋅BC=-.1233注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一解答计分.·5·9(2023·河北·统考模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C对应的边为a，b，c，△ABC的面积为S，若acosB+bcosA=2a.π(1)当B=时，求A；3(2)若角B为△ABC的最大内角.从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立，2223①a+c+ac=b；②b=7；③S=.2注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.π10(2023·云南曲靖·统考模拟预测)在①asinA+C=bcosA-；②1+2cosCcosB=62tanBbcosC-B-cosC+B；③=这三个条件中选择一个补充在下面问题中的横线上，然tanA+tanBc后求解.问题：在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b+c=23,a=6，.(说明：只需选择一个条件填入求解，如果三个都选择并求解的，只按选择的第一种情形评分)(1)求角A的大小；(2)求△ABC内切圆的半径.·6·11(2023·宁夏中卫·统考二模)在①tanA+tanB+3=3tanAtanB；②(c+a-b)(sinC-sinA+sinB)=asinB；③3csinB=b(cosC+1)；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．问题：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角C；3(2)若△ABC的内切圆半径为,b=4，求a-c．212(2023·重庆·统考模拟预测)如图所示，已知圆O是△ABC的外接圆，圆O的直径BD=2.设BC=a，AC=b，AB=c，在下面给出条件中选一个条件解答后面的问题，①tanC⋅b-3csinA+3c⋅cosA=0；②2cosC+cosA=2sinC-sinA⋅tanA；3222③△ABC的面积为a+c-b.选择条件.4(1)求b的值；(2)求△ACD的周长的取值范围.·7·13(2023·湖南益阳·统考模拟预测)△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，从下列三个条件中任选B+CasinC一个作为已知条件，并解答问题.①csin=asinC；②=3c；③△ABC的面积为21-cosA3222b+c-a.4(1)求角A的大小；(2)求sinBsinC的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.14(2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测)在①m=2a-c,b，n=cosC,cosB，m⎳n；②πbsinA=acosB-；③a+ba-b=a-cc三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决6该问题．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，且满足．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．(1)求角B；(2)若b=2，求△ABC面积的最大值．·8·15(2023·山西吕梁·统考三模)在①3absinC=4AB⋅AC；②a3sinB+4cosB=4c，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.(1)求sinA的值；(2)若△ABC的面积为2，a=4，求△ABC的周长.注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.16(2023·全国·模拟预测)从①2sinB=2sinAcosC+sinC，②4SsinA=absinCtanA(S为△ABC的面积)，③bcosA+acosB+2acosC=2b这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并加以解答．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．(1)求角A的大小；(2)若4sinB=bsinA，求b+c的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．·9·17(2023·河北邯郸·统考二模)已知条件：①2a=b+2ccosB；②2asinAcosB+bsin2A=2C23acosC；③3sinC=3-2cos.2从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：.(1)求角C的大小；(2)若c=23，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI周长的最大值.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分π218(2023·海南·海口市琼山华侨中学校联考模拟预测)在①8cosxcosx+；②-4sinx-43sinx32π⋅cosx+4；③8cosx-4sin2x+-2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．6问题：已知函数f(x)=．(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积．若f(x)在x=A处有最小值-a，求△ABC面积的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．·10·A+Csin2B1-cosB19(2023·江苏·校联考模拟预测)在①acos=bsinA，②+=0这两个条21+cos2BsinB件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足．(1)求B；(2)若b=7，c=3，D为AC边上的一点，且∠DBC=∠DCB，求BD．3πcosA+2120(2023·海南·统考模拟预测)在①+cosA=；②4cos2B-cos2C=3这两个条件中tanC2任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知△ABC中，点M在线段BC上，且∠BAM=∠CAM，，AC=2，BM=2．BM(1)求的值；CM(2)求AM的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．·11·