专题14抛物线中的定点、定值、定直线问题一、单选题1.已知抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合,过坐标原点作两条互相垂直的射线,,与分别交于,则直线过定点()A. B. C. D.2.已知直线与抛物线交于不同的两点,,直线,的斜率分别为,,且,则直线恒过定点()A. B. C. D.3.已知曲线:,过它的焦点作直线交曲线于,两点,弦的垂直平分线交轴于点,可证明是一个定值,则()A. B.1 C.2 D.4.已知抛物线,过定点的直线与抛物线交于两点,若常数,则常数的值是()A.1 B.2 C.3 D.45.抛物线x2=-2y与过点P(0,-1)的直线l交于A,B两点,如果OA与OB的斜率之和为1,则直线l的方程是( )A.Y=-x-1 B.Y=x+1 C.Y=x-1 D.Y=-x+16.设点为抛物线的焦点,,,三点在抛物线上,且四边形为平行四边形,若对角线(点在第一象限),则对角线所在的直线方程为A. B.C. D.7.已知动点,关于坐标原点对称,,过点,且与直线相切.若存在定点,使得为定值,则点的坐标为()A. B. C. D.8.已知点在抛物线上且位于轴的两侧,(其中为坐标原点),则直线一定过点()A. B. C. D.二、多选题9.抛物线的焦点为,动直线与抛物线交于两点且,直线分别与抛物线交于两点,则下列说法正确的是()A.直线恒过定点 B.C. D.若于点,则点的轨迹是圆10.已知抛物线方程为,直线,点为直线l上一动点,过点P作抛物线的两条切线,切点为A、B,则以下选项正确的是()A.当时,直线方程为 B.直线过定点C.中点轨迹为抛物线 D.的面积的最小值为11.已知抛物线,过焦点F作一直线l交抛物线于,两点,以下结论正确的有()A.没有最大值也没有最小值B.C.D.E.若直线l的倾斜角为,则12.已知点在拋物线的准线上,是拋物线的焦点.过点的两条直线分别与抛物线相切于点,,直线交直线于点,则下列结论正确的是()A.拋物线方程为 B.直线的方程为C. D.三、填空题13.经过抛物线的焦点的直线交此抛物线于,两点,抛物线在,两点处的切线相交于点,则点必定在直线______上.(写出此直线的方程)14.已知点P为直线l:x=-2上任意一点,过点P作抛物线y2=2px(p>0)的两条切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),若x1x2为定值,则该定值为____.15.过抛物线上一点P(4,4)作两条直线PA,PB,且它们的斜率之积为定值4,则直线AB恒过定点____.16.已知为抛物线:的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于、两点,直线与交于、两点,则的值为_______.四、解答题17.在平面直角坐标系中,已知动点到定点的距离比到x轴的距离大1.(1)求动点M的轨迹C的方程;(2)过点作斜率为的直线分别交曲线C于不同于N的A,B两点,且.证明:直线恒过定点.18.设抛物线的焦点为,过且斜率k的直线与交于A,D两点,.(1)求;(2)若在上,过点作的弦,,若,证明:直线过定点,并求出定点的坐标.19.已知F为抛物线的焦点,直线与C交于A,B两点且.(1)求C的方程.(2)若直线与C交于M,N两点,且与相交于点T,证明:点T在定直线上.20.已知曲线上的点到的距离比它到轴的距离大1.(1)求曲线的方程;(2)过作斜率为的直线交曲线于、两点;①若,求直线的方程;②过、两点分别作曲线的切线、,求证:、的交点恒在一条定直线上.21.在平面直角坐标系Oxy中,点F(1,0),D为直线l:x=-1上的动点,过D作l的垂线,该垂线与线段DF的垂直平分线交于点M,记M的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)若过点F的直线与曲线C交于P,Q两点,直线OP,OQ与直线x=1分别交于A,B两点,试判断以AB为直径的圆是否经过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.22.已知抛物线的焦点为.点在上,.(1)求;(2)过作两条互相垂直的直线,与交于两点,与直线交于点,判断是否为定值?若是,求出其值;若不是,说明理由.
高考数学专题14 抛物线中的定点、定值、定直线问题-高考数学圆锥曲线重难点专题突破(全国通用)(原
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