专题20放回不放回问题例1.有编号为1,2,3的三只小球,和编号为1,2,3,4的四个盒子,将三个小球逐个随机的放入四个盒子中,每只球的放置相互独立.(1)求三只小球恰在两个盒子中的概率;(2)求三只小球在三个不同的盒子,且至少有两个球的编号与所在盒子编号不同的概率;(3)记录至少有一只球的盒子,以表示这些盒子编号的最大值,求【解析】(1)设“三只小球恰在两个盒子中”为事件,则(2)设“恰有两个球的编号与盒子编号不同”为事件,“三个球的编号与盒子的编号不同”为事件则“至少有两个球的编号与所在盒子编号不同”为事件:,,,与互斥,故(3);;;;故例2.为庆祝“2017年中国长春国际马拉松赛”,某单位在庆祝晚会中进行嘉宾现场抽奖活动.抽奖盒中装有大小相同的6个小球,分别印有“长春马拉松”和“美丽长春”两种标志,摇匀后,规定参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀),若抽到的两个小球都印有“长春马拉松”即可中奖,并停止抽奖,否则继续,但每位嘉宾最多抽取3次.已知从盒中抽取两个小球不都是“美丽长春”标志的概率为.(Ⅰ)求盒中印有“长春马拉松”标志的小球个数;(Ⅱ)用η表示某位嘉宾抽奖的次数,求η的分布列和期望.【解析】(Ⅰ)设印有“美丽长春”的球有n个,同时抽两球不都是“美丽长春”标志为事件A,则同时抽取两球都是“美丽长春”标志的概率是,由对立事件的概率:P(A)=1-=.即,解得n=3.(Ⅱ)由已知,两种球各三个,η可能取值分别为1,2,3,,,P(η=3)=1-P(η=1)-P(η=2)=.则η的分布列为η123P所以E(η)=1×+2×+3×=.例3.已知一个口袋中装有n个红球(且)和2个白球,从中有放回地连续摸三次,每次摸出两个球,若两个球颜色不同则为中奖,否则不中奖.(Ⅰ)当时,设三次摸球中(每次摸球后放回)中奖的次数为X,求X的分布列;(II)记三次摸球中(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为P,当n取多少时,P最大?【解析】(1)当时,每次摸出两个球,中奖的概率,则;;;.所以X的分布列为X0123P(2)设每次摸球中奖的概率为p,则三次摸球(每次摸球后放回)恰有两次中奖的概率为,.对于函数,,当时,,在上单调递增,当时,,在上单调递减,故当时,取得最大值.令,即,解得或,所以当或2时,P最大.例4.袋中装有围棋黑色和白色棋子共7枚,从中任取2枚棋子都是白色的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸取一枚棋子.甲先摸,乙后取,然后甲再取,……,取后均不放回,直到有一人取到白棋即终止.每枚棋子在每一次被摸出的机会都是等可能的.用表示取棋子终止时所需的取棋子的次数.(1)求随机变量的概率分布列和数学期望;(2)求甲取到白棋的概率.【解析】设袋中白棋共有个,,则依题意知:,∴,即,解之得(舍去).(1)袋中的7枚棋子3白4黑,随机变量的所有可能取值是1,2,3,4,5.,,,,.(注:此段4分的分配是每错1个扣1分,错到4个即不得分.)随机变量的概率分布列为:12345所以.(2)记事件“甲取到白棋”,则事件包括以下三个互斥事件:“甲第1次取棋时取出白棋”;“甲第2次取棋时取出白棋”;“甲第3次取棋时取出白棋”.依题意知:,,,所以,甲取到白棋的概率为例5.袋中有大小相同的3个红球和2个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球,则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球5次,则停止取球,设取球次数为,(1)求取球3次则停止取球的概率;(2)求随机变量的分布列.【解析】(1)记“取球3次停止”为事件,则;(2)由题意,可能的取值为2,3,4,5,;;其分布表如下:2345例6.某种产品的质量以其质量指标值来衡量,质量指标值越大表明质量越好,记其质量指标值为,当时,产品为一级品;当时,产品为二级品,当时,产品为三级品,现用两种新配方(分别称为配方和配方)做实验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面的试验结果:(以下均视频率为概率)配方的频数分配表指标值分组频数10304020配方的频数分配表指标值分组频数510154030(Ⅰ)若从配方产品中有放回地随机抽取3件,记“抽出的配方产品中至少1件二级品”为事件,求事件发生的概率;(Ⅱ)若两种新产品的利润率与质量指标满足如下关系:其中,从长期来看,投资哪种配方的产品平均利润率较大?【解析】(Ⅰ)由题意知,从配方产品中随机抽取一次抽中二级品的概率为,则没有抽中二级品的概率为,所以,.(Ⅱ)配方立品的利润分布列为0.60.4所以配方产品的利润分布列为0.70.250.05所以,因为,所以所以投资配方产品的平均利润率较大.例7.一个袋中装有个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为,,,,,.(Ⅰ)若从袋中每次随机抽取个球,有放回的抽取次,求取出的两个球编号之和为的概率.(Ⅱ)若从袋中每次随机抽取个球,有放回的抽取次,求恰有次抽到号球的概率.(Ⅲ)若一次从袋中随机抽取个球,记球的最大编号为,求随机变量的分布列.(Ⅳ)若从袋中每次随机抽取个球,有放回的抽取次,记球的最大编号为,求随机变量的分布列.【解析】(Ⅰ)共有种,和为的共种,∴.(Ⅱ)为抽个球,有的概率,∴为所求.(Ⅲ)可取,,,,,,,.∴X的分布列为(Ⅳ),,,,,.∴X的分布列为例8.从装有2只红球,2只白球和1只黑球的袋中逐一取球,已知每只球被抽取的可能性相同.(Ⅰ)若抽取后又放回,抽3次.(ⅰ)分别求恰2次为红球的概率及抽全三种颜色球的概率;(ⅱ)求抽到红球次数的数学期望及方差.(Ⅱ)若抽取后不放回,写出抽完红球所需次数的分布列.【解析】(1)抽1次得到红球的概率为,得白球的概率为得黑球的概率为①所以恰2次为红色球的概率为抽全三种颜色的概率②,则,(2)的可能取值为2,3,4,5,,,即分布列为:2345P例9.已知2件次品和3件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.(1)求最后取出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用100元,设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位:元),求的分布列和数学期望【解析】(1)最后取出的是正品对应的事件是:①3件都是正品;②前3件里有1件次品2件正品,第4件是正品.前3件都是正品的概率是:3件里有1件次品2件正品,第4件是正品概率是:所以最后取出的是正品的概率:(2)的可能取值为,,.,,,故的分布列为:200300400例10.已知一个口袋中装有n个红球(n≥1且n∈N+)和2个白球,从中有放回地连续摸三次,每次摸出2个球,若2个球颜色不同则为中奖,否则不中奖.(1)当n=3时,设三次摸球中中奖的次数为X,求随机变量X的分布列;(2)记三次摸球中恰有两次中奖的概率为P,求当n取多少时,P的值最大.【解析】(1)当n=3时,每次摸出两个球,中奖的概率,;;;;ξ分布列为:ξ0123p(2)设每次摸奖中奖的概率为p,则三次摸球(每次摸奖后放回)恰有两次中奖的概率为:,0<p<1,P'=-9p2+6p=-3p(3p-2),知在上P为增函数,在上P为减函数,当时P取得最大值.又,故n2-3n+2=0,解得:n=1或n=2,故n为1或2时,P有最大值.例11.某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位:元),如下图所示:(1)将去年的消费金额超过3200元的消费者称为“健身达人”,现从所有“健身达人”中随机抽取2人,求至少有1位消费者,其去年的消费金额超过4000元的概率;(2)针对这些消费者,该健身机构今年欲实施入会制,详情如下表:会员等级消费金额普通会员2000银卡会员2700金卡会员3200预计去年消费金额在内的消费者今年都将会申请办理普通会员,消费金额在内的消费者都将会申请办理银卡会员,消费金额在内的消费者都将会申请办理金卡会员.消费者在申请办理会员时,需-次性缴清相应等级的消费金额.该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动,现有如下两种预设方案:方案1:按分层抽样从普通会员,银卡会员,金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”给予奖励:普通会员中的“幸运之星”每人奖励500元;银卡会员中的“幸运之星”每人奖励600元;金卡会员中的“幸运之星”每人奖励800元.方案2:每位会员均可参加摸奖游戏,游戏规则如下:从-个装有3个白球、2个红球(球只有颜色不同)的箱子中,有放回地摸三次球,每次只能摸-个球.若摸到红球的总数消费金额/元为2,则可获得200元奖励金;若摸到红球的总数为3,则可获得300元奖励金;其他情况不给予奖励.规定每位普通会员均可参加1次摸奖游戏;每位银卡会员均可参加2次摸奖游戏;每位金卡会员均可参加3次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立).以方案2的奖励金的数学期望为依据,请你预测哪-种方案投资较少?并说明理由.【解析】(1)设随机抽取的2人中,去年的消费金额超过4000元的消费者有人,则的可能值为“0,1,2”,∴.(或者.(2)方案1:按分层抽样从普通会员,银卡会员,金卡会员中总共抽取25位“幸运之星”,则“幸运之星”中的普通会员,银卡会员,金卡会员的人数分别为:,,,∴按照方案1奖励的总金额为:元,方案2:设表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金,则的可能值为“0,200,300”,∵摸到红球的概率:,∴,,,∴的分布列为0200300∴元,∴按照方案2奖励的总金额为:元,∵方案1奖励的总金额多于方案1奖励的总金额,∴预计方案2投资较少.
高考数学专题20 放回不放回问题(解析版)
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