高考数学专题13 超几何分布(解析版)

2023-11-09 · U1 上传 · 8页 · 571.1 K

专题13超几何分布例1.有件产品,其中有件次品,从中不放回地抽件产品,抽到的次品数的数学期望值是 A. B. C. D.【解析】解:设抽到的次品数为,则有件产品,其中有件次品,从中不放回地抽件产品,抽到的次品数服从超几何分布即,,,抽到的次品数的数学期望值故选:.例2.有6个大小相同的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号为7,8,9,10,现从中任取4个球,有如下几种变量:①表示取出的最大号码;②表示取出的最小号码;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,表示取出的4个球的总得分;④表示取出的黑球个数,这四种变量中服从超几何分布的是 A.①② B.③④ C.①②④ D.①②③④【解析】解:超几何分布取出某个对象的结果数不定,也就是说超几何分布的随机变量为实验次数,即指某事件发生次的试验次数,由此可知③④服从超几何分布.故选:.例3.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,则 .(用数字表示)【解析】解:由题意故答案为:例4.有一批产品,其中有6件正品和4件次品,从中任取3件,至少有2件次品的概率为 .【解析】解:从10件产品任取3件的取法共有,其中所取的三件中“至少有2件次品”包括2件次品、3件次品,取法分别为,.因此所求的概率.故答案为.例5.设袋中有8个红球,2个白球,若从袋中任取4个球,则其中恰有3个红球的概率为 .【解析】解:从袋中10个球中任取4个球,共有种取法,则其中恰有3个红球的取法为.从袋中任取4个球,则其中恰有3个红球的概率.故答案为.例6.在10件产品中有2件次品,任意抽取3件,则抽到次品个数的数学期望的值是 .【解析】解:设抽到次品个数为,则,2,故答案为:例7.在箱子中有10个小球,其中有3个红球,3个白球,4个黑球.从这10个球中任取3个.求:(1)取出的3个球中红球的个数的分布列;(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率.【解析】解:(1)由题意知,随机变量的所有可能取值为0,1,2,3,且服从参数为,,的超几何分布,因此;(1分)所以,,,;(4分)所以的分布列为:0123(6分)(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件,“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件,“恰好取出2个红球”为事件,“恰好取出3个红球”为事件,(7分)由于事件,,彼此互斥,且,而,,,(10分)所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为:.(11分)答:取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为.(12分)例8.某班组织知识竞赛,已知题目共有10道,随机抽取3道让某人回答,规定至少要答对其中2道才能通过初试,他只能答对其中6道,试求:(1)抽到他能答对题目数的分布列;(2)他能通过初试的概率.【解析】解:(1)设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为,且、1、2、3,服从超几何分布,分布列如下:0123即0123(2)要答对其中2道才能通过初试,则可以通过初试包括两种情况,这两种情况是互斥的,根据上一问的计算可以得到例9.某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生,4名女生,从中选出4人参加数学竞赛考试,用表示其中男生的人数,(1)请列出的分布列;(2)根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率.【解析】解:(1)依题意得,随机变量服从超几何分布,随机变量表示其中男生的人数,可能取的值为0,1,2,3,4..所以的分布列为:01234(2)由分布列可知至少选3名男生,即.例10.某批产品共10件,已知从该批产品中任取1件,则取到的是次品的概率为.若从该批产品中任意抽取3件,(1)求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率;(2)求取出的3件产品中次品的件数的概率分布列与期望.【解析】解:设该批产品中次品有件,由已知,(2分)(1)设取出的3件产品中次品的件数为,3件产品中恰好有一件次品的概率为(4分)(2)可能为0,1,2(10分)的分布为:012则(13分)例11.生产方提供50箱的一批产品,其中有2箱不合格产品.采购方接收该批产品的准则是:从该批产品中任取5箱产品进行检测,若至多有1箱不合格产品,便接收该批产品.问:该批产品被接收的概率是多少?【解析】解:以50箱为一批产品,从中随机抽取5箱,用表示“5箱中不合格产品的箱数”,则服从超几何分布,2,.这批产品被接收的条件是5箱中没有不合格的箱或只有1箱不合格,所以被接收的概率为,即.答:该批产品被接收的概率是.例12.甲与乙两人掷硬币,甲用一枚硬币掷3次,记下国徽面朝上的次数为;乙用一枚硬币掷2次,记下国徽面朝上的次数为.(1)算国徽面朝上不同次数的概率并填入下表:(2)现规定:若,则甲胜;若,则乙胜.你认为这种规定合理吗?为什么?【解析】解:(1)根据相互独立事件概率乘法公式得:(2)这种规定是合理的.这是因为甲获胜,则当时,,1,0,其概率为当时,,0,其概率为;当时,,其概率为;甲获胜的概率为若乙获胜,则当时,,1,0,其概率为;当时,,0,其概率为;当时,,其概率为;乙获胜的概率为甲和乙获胜的概率相等,即获胜机会相等,所以这种规定是合理的.例13.某热水瓶胆生产的6件产品中,有4件正品,2件次品,正品和次品在外观上没有区别,从这6件产品中任意抽检2件,计算(1)2件都是正品的概率(2)至少有一件次品的概率.【解析】解:从6件产品中,抽取2件的概率有种(1)其中两件都是正品的基本事件有:种故2件都是正品的概率(2)由于“抽检的2件产品中有次品”与“2件都是正品”为对立事件故抽检的2件产品中至少有一件次品的概率即至少有一件次品的概率.例14.已知10件不同的产品中共有3件次品,现对它们进行一一测试,直到找出所有3件次品为止.(1)求恰好在第5次测试时3件次品全部被测出的概率;(2)记恰好在第次测试时3件次品全部被测出的概率为,求的最大值和最小值.【解析】解:(1)若恰好在第5次测试时3件次品全部被测出,则第5次取出第3件次品,前4次中有2次是次品,2次是正品;则有种情况,从10件产品中顺序取出5件,有种情况,则第5次测试时3件次品全部被测出的概率,(2)根据题意,分析可得的范围是,当时,若恰好在第次测试时3件次品全部被测出,则第次取出第3件次品,前次中有2次是次品,次是正品;而从10件产品中顺序取出件,有种情况,则,则(3),(4),(5),(6);当时,即恰好在第7次测试时3件次品全部被测出,有两种情况,一是第7次取出第3件次品,前6次中有2次是次品,4次是正品;二是前7次没有取出次品,此时也可以测出三件次品,则;当时,即恰好在第8次测试时3件次品全部被测出,有两种情况,一是第8次取出第3件次品,前7次中有2次是次品,5次是正品;二是前7次恰有一次次品,第8次取出为合格品,则;当时,即恰好在第9次测试时3件次品全部被测出,此时(9)(3)(4)(5)(6)(7)(8)故,.例15.在袋子中装有10个大小相同的小球,其中黑球有3个,白球有个,其余的球为红球.(Ⅰ)若,从袋中任取1个球,记下颜色后放回,连续取三次,求三次取出的球中恰有2个红球的概率;(Ⅱ)从袋里任意取出2个球,如果这两个球的颜色相同的概率是,求红球的个数;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,从袋里任意取出2个球.若取出1个白球记1分,取出1个黑球记2分,取出1个红球记3分.用表示取出的2个球所得分数的和,写出的分布列,并求的数学期望.【解析】解:(Ⅰ)设“从袋中任取1个球是红球”为事件,则.所以,.答:三次取球中恰有2个红球的概率为.(4分)(Ⅱ)设“从袋里任意取出2个球,球的颜色相同”为事件,则,整理得:,解得(舍或.所以,红球的个数为3个.(8分)(Ⅲ)的取值为2,3,4,5,6,且,,,,.所以的分布列为23456所以,.(13分)

VIP会员专享最低仅需0.2元/天

VIP会员免费下载,付费最高可省50%

开通VIP

导出为PDF

图片预览模式

文字预览模式
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报
预览说明:图片预览排版和原文档一致,但图片尺寸过小时会导致预览不清晰,文字预览已重新排版并隐藏图片
相关精选
查看更多
更多推荐