高考数学专题30 高尔顿板问题（解析版）

专题30高尔顿板问题例1．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内，若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的概率为 A． B． C． D．【解析】解：设小球最终落入④号球槽为事件，小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互独立，最终落入④号球槽是两次向左，三次向右，小球最终落入④号球槽的概率为：（A）．故选：．例2．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入⑥号球档的概率为 A． B． C． D．【解析】解：小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相对独立，小球最终落入⑥号球档是五次均向右，设这个小球最终落入⑥号球档为事件，则小球最终落入⑥号球档的概率：（A）．故选：．例3．如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落③号球槽的概率为 A． B． C． D．【解析】解：由题可知：小球落入③号球槽有种情况，小球落入下方球槽共有，小球最终落③号球槽的概率为．故选：．例4．如图是高尔顿板的改造装置，当小球从自由下落时，进入槽口处的概率为 A． B． C． D．【解析】解：小球从自由下落时，到达点的概率为，到达点的概率为，到达点的概率为，到达点的概率为，到达点的概率为，到达点的概率为，到达点的概率为，到达点的概率为，故选：．例5．如图，高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型，它是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行，水平间隔相等的圆柱形铁钉，并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央，从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉，如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球，那么，小球落入1号容器的概率是 ，若取4个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，则的数学期望是 ．【解析】解：①小球落入1号容器的概率．②小球落入4号容器的概率．取4个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，则则的数学期望．故答案为：，1．例6．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左向右滚下，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．某高三同学试验1000次，掉入各球槽的个数统计如下：球槽1234567频数15952349217频率0.0150.0950.2340.2340.0920.017规定小球掉入2，4，6号球槽中的任何一个即为中奖，其余不中奖．（1）分别求，，的值．（2）假设中奖的概率为，现有5位同学依次参加这个高尔顿板游戏，每人玩一次，求中奖不连续发生的概率．【解析】解（1），，．（2）中奖的概率为，中奖与不中奖等可能，中奖用1表示，不中奖用0表示．画树状图．（总的基本事件为，没有画的表示中奖不连续发生）记中奖不连续发生为事件，其基本事件有13个．故．例7．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的小木块中，上面7层为高尔顿板，最下面一层为改造的高尔顿板，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过7次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在前6次碰撞中有2次向右3次向左滚到第6层的第3个空隙处，再以的概率向左滚下，或在前6次碰撞中有1次向右4次向左滚到第6层的第2个空隙处，再以的概率向右滚下．（Ⅰ）若进行一次高尔顿板试验，求小球落入第7层第6个空隙处的概率；（Ⅱ）小明同学在研究了高尔顿板后，利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元．其中求的分布列：高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？【解析】解：（1）记小球落入记小球落入第7层第6个空隙处的事件为，小球落入第7层第6个空隙处，需要6次碰撞中有1次向左5次向右，这个小球落入第7层第6个空隙处的概率．（2）由已知得的可能取值为1，2，3，4，5，6，7，，，，，的分布列为：1234567，的可能取值为0，5，10，15，，，，．，小明同学能盈利．例8．高尔顿（钉板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉．如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为，求的分布列与数学期望．【解析】解：（1）记“小球落入4号容器”为事件，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左．理论上，小球落入4号容器的概率是．（3分）（2）落入4号容器的小球个数的可能取值为0，1，2，3．，，，，的分布列为：0123（7分）．（9分）故落入4号容器的小球个数的数学期望为．（10分）例9．高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．如图所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，，7的球槽内．例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下．（1）若进行一次高尔顿板试验，这个小球掉入2号球槽的概率；（2）某高三同学在研究了高尔顿板后，制作了一个如图所示的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中．高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏．试求的分布列，如果你在活动现场，你通过数学期望的计算后，你觉得这位高三同学能盈利吗？【解析】解：（1）设这个小球掉入2号球槽为事件．掉入2号球槽，需要向右1次向左5次，所以（A）．所以这个小球掉入2号球槽的概率为．（5分）（2）的可能取值为0，5，10，15．，，，．051015．这位高三同学能盈利．