高考数学专题04 茎叶图（解析版）

专题4茎叶图例1．张老师将某位高三学生10次选填题专测的成绩进行统计，得到的统计结果如图所示，但学习委员在将成绩登记在册的时候将62与68均登记成了65，则两个成绩相比，不变的数字特征是 A．众数 B．中位数 C．平均数 D．方差【解析】解：两个成绩比较，具体情况如下：众数中位数平均数方差张老师75646567.4学习委员65656565.6观察可知，平均数相同，众数、中位数和方差均不相同．故选：．例2．某社区安置了15个体温检测点，每个检测点每天检测的人数都是随机的，不受位置等因素影响，如图是由某天检测人数绘制的茎叶图，则某个检测点某天检测人数达145及以上的概率是 A． B． C． D．【解析】解：由茎叶图中数据知，在15个数据中，人数达到145及以上的有10个，所以所求的概率为．故选：．例3．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．为调查某两家订餐软件的商家的服务情况，统计了它们订餐“送达时间”（时间：分钟），得到茎叶图如图所示，则 A．甲款送餐时间更稳定，中位数为26 B．甲款送餐时间更稳定，中位数为27 C．乙款送餐时间更稳定，中位数为31 D．乙款送餐时间更稳定，中位数为36【解析】解：由茎叶图中数据知，乙款送餐时间大部分集中在分钟之间，甲款送餐时间相对比较分散，素养乙款送餐时间更稳定些．乙款统计的送餐时间共有13个数据，由小到大排列后处于中间的是36，所以中位数是36．故选：．例4．如图为甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则平均成绩较小的那位同学的成绩的方差为 A．1 B．2 C．3 D．4【解析】解：由题意，可得，，，故．故选：．例5．某团支部随机抽取甲、乙两位同学连续9期“青年大学习”的成绩（单位：分），得到如图所示的成绩茎叶图，关于这9期的成绩，则下列说法正确的是 A．甲成绩的平均数高于乙成绩的平均数 B．乙成绩的极差为40 C．甲乙两人成绩的众数相等 D．甲成绩的中位数为32【解析】解：根据茎叶图中数据知，甲成绩的平均数为，乙成绩的平均数为，所以甲成绩的平均数低于乙成绩的平均数，错误；乙成绩的极差为，所以错误；甲成绩的众数是32，乙成绩的众数是42，两人的众数不相等，所以错误；甲成绩的中位数是32，所以正确．故选：．例6．某校对甲、乙两个数学兴趣小组的同学进行了知识测试，现从两兴趣小组的成员中各随机选取15人的测试成绩（单位：分）用茎叶图表示，如图，根据以上茎叶图，对甲、乙两兴趣小组的测试成绩作比较，下列统计结论正确的有 A．甲兴趣小组测试成绩的平均分高于乙兴趣小组测试成绩的平均分 B．甲兴趣小组测试成绩较乙兴趣小组测试成绩更分散 C．甲兴趣小组测试成绩的中位数大于乙兴趣小组测试成绩的中位数 D．甲兴趣小组测试成绩的众数小于乙兴趣小组测试成绩的众数【解析】解：由茎叶图可知，甲组数据集中在60分以上，而乙组数据比较分散，可知甲组的平均分数高于乙组，故正确，错误；甲组的中位数为77，乙组中位数为64，故正确；甲组的众数为79，乙组众数为64，故错误；故选：．例7．某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图如图所示，已知甲得分的极差为32，乙得分的平均值为24，则下列结论正确的是 A． B．甲得分的方差是736 C． D．乙得分的方差小于甲得分的方差【解析】解：甲得分的极差为32，，解得，故正确；乙得分的平均值为24，，解得，故错误；甲得分的平均数为：，甲得分的方差是：，故错误；乙得分的方差是：，乙得分的方差小于甲得分的方差，故错误．故选：．例8．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为 13 ．【解析】解：甲班学生成绩的平均分是86，，即．乙班学生成绩的中位数是83，故．．故答案为：13．例9．某次物理考试，小明所在的学习小组六名同学的分数茎叶图如图所示，发现有一个数字（茎叶图中的模糊不清，已知该组的物理平均分为88分，则数字的值为 3 ．例10．如图所示的茎叶图是甲、乙两个代表队各7名队员参加“安全知识竞赛”的成绩，乙队成绩的众数为，从甲、乙两队中各选取1名队员，则两名队员所得分数相同的概率为 ．【解析】解：由茎叶图可知，乙队成绩的众数为84，所以，解得，从甲、乙两队中各选取1名队员，共有种选法，记“两名队员所得分数相同”为事件，则事件对应的基本事件数有4种，所以（A）．故答案为：．例11．某研究机构对8名新型冠状病毒患者的潜伏期（单位：天）调查结果为如图茎叶图所示，则这组数据的平均数减去中位数的差为 0.5 【解析】解：由茎叶图知，这组数据从小到大排列为：5，7，10，11，12，14，16，21；它们的平均数为，中位数为，所以平均数减去中位数的差为．故答案为：0.5．例12．一次体操比赛中，7位裁判为某运动员打出的分数如茎叶图所示（其中茎表示十位数，叶表示个位数），去掉一个最高分和一个最低分后，剩余数据的平均数为 89 ．【解析】解：根据茎叶图知，这7个数据从小到大排列为：79，86，87，90，91，91，92；去掉一个最高分92，一个最低分79，剩余数据的平均数为．故答案为：89．例13．某班一学习小组8位学生参加劳动技能比赛所得成绩的茎叶图如图所示，那么这8位学生成绩的平均分与中位数的差为 2 ．【解析】解：由茎叶图可知，这8位学生成绩的平均分为：，中位数为：，所以这8位学生成绩的平均分与中位数的差为．故答案为：2．例14．，两名同学在5次数学考试中的成绩统计如图的茎叶图所示，若，两人的平均成绩分别是，，则 （用“”，““”，““”填空）【解析】解：由茎叶图可知，，，．故答案为：．例15．如图所示的茎叶图是甲、乙两个队10场比赛的得分数据，则下列结论：①甲队得分的极差是27；②乙队得分的中位数是38；③乙队得分的众数是43；④甲、乙两队得分在，分数段频率相等；⑤甲队得分的稳定性比乙队好．其中正确结论的序号为 ①③⑤ ．【解析】解：对于①，甲队得分的极差是，所以①正确；对于②，乙队得分的中位数是，所以②错误；对于③，由图中数据知，乙队得分的众数是43，所以③正确；对于④，甲、乙两队得分在，分数段内的频数分别为甲是4，乙是3，两者的频数不同，所以频率不相等，④错误；对于⑤，甲队得分极差是，乙队得分极差是，且二者的平均数相同，所以甲队得分的稳定性比乙队好，⑤正确．综上知，正确结论的序号为①③⑤．故答案为：①③⑤．例16．“学习强国”是由中央宣传部宣传情研究中心出品的学习平台，分端、手机客户端两大终端，于2019年1月1日上线．某教育行政部门为了了解某校男、女党员教师学习“学习强国”的得分情况，随机调查了该校的18位党员教师，其中男党员教师有9人，女党员教师有9人，这18位党员教师2019年10月份的日均得分（单位：分）如表：男党员教师日均得分101216292325383841女党员教师日均得分111717283436374041（1）根据以上数据完成下面的茎叶图，利用茎叶图判断男党员教师学习“学习强国”的积极性是否比女党员教师高，并说明理由；（2）从这18位日均得分不低于35分的男、女党员教师中各随机抽取一名，求男党员教师的得分高于女党员教师得分的概率．【解析】解：（1）根据以上数据完成下面的茎叶图，如图所示：由茎叶图可以看出，男党员教师学习“学习强国”的积极性不比女党员教师高．理由如下：男党员教师学习“学习强国”的日均得分集中在茎1，2上，而女党员教师日均得分集中在茎1，3上，由此可以判断女党员教师学习“学习强国”的积极性更高．（2）设事件为“男党员教师的得分高于女党员教师得分”，这18位党员教师中日均得分不低于35分的男、女党员教师分别有3人，4人，其中3位得分分别为38，38，41的男党员教师依次记为，，，得分分别为36，37，40，41的4位女党员教师依次记为，，，．从这18位日均得分不低于35分的男、女党员教师中各随机抽取一名，所含的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共12个．事件所含的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共7个．所以男党员教师的得分高于女党员教师得分的概率．例17．由于疫情，学生在家经过了几个月的线上学习，某高中学校为了了解学生在家学习情况，复学后进行了复学摸底考试，并对学生进行了问卷调查，如表（单位：人）是对高二年级数学成绩及“认为自己在家学习态度是否端正”的问卷调查的统计结果，其中成绩不低于120分为优秀，成绩不低于90分且小于120分的为及格，成绩小于90分的为不及格．优秀及格不及格学习态度端正91300学习态度不端正9200322按成绩用分层抽样的方法在高二年级中抽取50人，其中优秀的人数为5．（1）求的值；（2）用分层抽样的方法在及格的学生中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学习不端正的概率；（3）在及格的学生中随机抽取了10人，他们的分数如图所示的茎叶图，已知这10名学生的平均分为104.5，求的概率．【解析】解：（1）设高二年级总人数为人，由题意可得，解得，则，（2）设所抽样本中有人学习态度端正的学生，则由分层抽样可知，解得，因此抽取一个容量为5的样本中，由2个学习态度不端正，3个学习态度端正，分别记作，，，，，从中任取2个的基本事件为，，，，，，，，，，共10个．至少含有11人学习不端正的基本事件有7个，，，，，，，，从中任取2人，至少有1人学习不端正的概率；（3）记事件为““，因为平均分为104.5，则，解得，和的取值共有9种情况，它们是，，，，，，，，，其中有4种情况，它们是，，，，故（A）．例18．高新区某高中德育处为了调查学生对“一带一路”的关注情况，在全校组织了“一带一路”的知识问卷调查，并从中随机抽取了12份问卷，得到测试成绩（百分制）的茎叶图如图．（1）写出该样本的中位数，若该校共有3000名学生，试估计该校测试成绩在70分以上的人数；（2）从测试成绩为，的学生中随机抽取2人，求两位学生的测试成绩均落在，的概率．【解析】解：（1）由茎叶图得测试成绩为52，63，67，68，72，76，76，76，82，88，93，94中位数为76，所抽取的12人中，70分以下的有4人，70分以上的有8人，则样本中70分以上所在比例为，估计该校测试成绩在70分以上的人数为人，（2）从测试成绩为，的学生中随机抽取2人，共有，，中的任取2人，共有，成绩均落在两位学生的测试成绩均落在，的概率．例19．是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在35微克立方米以下的空气质量为一级；在35微克立方米与75微克立方米之间的空气质量为二级（含边界值）；在75微克立方米以上的空气质量为超标．为了解城市2019年的空气质量情况，从全年每天的日均值数据中随机抽取30天的数据作为样本，日均值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）．（1）求30天样本数据的平均数；（2）从城市共采集的30个数据样本中，从日均值在，范围内随机取2天数据，求取到2天的均超标的概率；（3）以这30天的日均值数据来估计一年的空气质量情况，求城市一年（按365天计算）中空气质量达到一级、二级分别有多少天？（结果四舍五入，保留整数）【解析】解：（1）30天样本数据的平均数为；（2）从城市所采集的30个数据样本中，日均值在，内的共有5天，而日均值为超标（大于75微克立方米）的有3天；记日均值超标的3天为，，，不超标的2天为，；则从这5天中随机取2天，共有如下10种结果（不记顺序）、、、、、、、、，其中，抽出2天的日均值均超标的情况有3种：、、，由古典概型知，抽到2天的日均值均超标的概率为；（3）在抽取的30天样本数据中，城市有8天达到一级，有17天达到二级．由样本估计总体知，城市一年中空气