高考数学专题32 顺序排位问题（解析版）

专题32顺序排位问题例1．2014年，为了研究根治埃博拉病毒疫苗，医务人员需进入实验室完成某项具有高危险的实验，每次只派一个人进去，且每个人只被派一次，工作时间不超过60分钟，如果某人60分钟不能完成实验则必须撤出，再派下一个人，现有甲、乙、丙三人可派，他们各自完成实验的概率分别为、、，且假定各人能否完成实验相互独立．（1）求实验能被完成的概率；（2）若规定最先派丙去，则以后按怎样的先后顺序派人，才比较合理（派出人员最少最合理），并说明理由．【解析】解：（1）求得实验不能被完成的概率为，实验能被完成的概率为．（2）若规定最先派丙去，设派出人数为，以后若先派甲后派乙，则的分布列为123的数学期望为．若规定最先派丙去，设派出人数为，以后若先派乙后派甲，则的分布列为123的数学期望为．由于，故应先派乙后派甲．例2．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只需一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，，，假设，，互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．（1）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否会发生变化？（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，，，其中，，是，，的一个排列，求所需要派出人员数目为3的概率．【解析】解：（1）任务不能被完成的概率是为定值，故任务能被完成的概率是为定值，此值与三个人的派出顺序无关．（2）派出人员数目为3，说明前2个人没有完成任务，故此事的概率为．例3．一次围棋擂台赛，由一位职业围棋高手设擂做擂主，甲、乙、丙三位业余围棋高手攻擂．如果某一业余棋手获胜，或者擂主战胜全部业余棋手，则比赛结束．已知甲、乙、丙三人战胜擂主的概率分别为，，，每人能否战胜擂主是相互独立的．（1）求这次擂主能成功守擂（即战胜三位攻擂者）的概率；（2）若按甲、乙、丙顺序攻擂，这次擂台赛共进行了次比赛，求得数学期望；（3）假定，试分析以怎样的先后顺序出场，可使所需出场人员数的均值（数学期望）达到最小，并证明你的结论．【解析】解：（1）设擂主能成功守擂的事件为，三人攻擂获胜的事件为，，2，3，则，三人攻擂均失败的概率为．所以，擂主守擂成功的概率是（A）．（2）比赛场数，2，3．，比赛一场结束，则第一位业余棋手就获胜，其概率为；，比赛二场结束，则第一位业余棋手攻擂失败，第二位胜利，其概率是；，比赛三场结束，则第一，二位业余棋手攻擂失败，其概率为，．（3）答按获胜概率从大到小的顺序出场，则所需出场人员数的均值为最小．下面证明以上结论．设，，是，，的一个排列，如果按，，有顺序出场，由（2）可得期望．因为等号成立当且仅当，．所以，按获胜概率从大到小的顺序出场，所需出场人员数的均值为最小．例4．由甲、乙、丙三个人组成的团队参加某项闯关游戏，第一关解密码锁，3个人依次进行，每人必须在1分钟内完成，否则派下一个人．3个人中只要有一人能解开密码锁，则该团队进入下一关，否则淘汰出局．根据以往100次的测试，分别获得甲、乙解开密码锁所需时间的频率分布直方图．（1）若甲解开密码锁所需时间的中位数为47，求、的值，并分别求出甲、乙在1分钟内解开密码锁的频率；（2）若以解开密码锁所需时间位于各区间的频率代替解开密码锁所需时间位于该区间的概率，并且丙在1分钟内解开密码锁的概率为0.5，各人是否解开密码锁相互独立．①求该团队能进入下一关的概率；②该团队以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，并说明理由．【解析】解：（1）甲解开密码锁所需时间的中位数为47，，解得；，解得；甲在1分钟内解开密码锁的频率是；乙在1分钟内解开密码锁的频率是；（2）由（1）知，甲在1分钟内解开密码锁的频率是0.9，乙是0.7，丙是0.5，且各人是否解开密码锁相互独立；①不能进入下一关的概率为，能进入下一关的概率与三个人被排除的顺序无关，该团队能进入下一关的概率为；②设甲、乙、丙三个人各自能完成任务的概率分别，，，且，，互不相等，根据题意知的取值为1，2，3；则，若交换前两个人的派出顺序，则变为，由此可见，当时，交换前两人的派出顺序可增大均值，应选概率大的甲先开锁；若保持第一人派出的人选不变，交换后两人的派出顺序，可写为，交换后的派出顺序则变为，当时交换后的派出顺序可增大均值；所以先派出甲，再派乙，最后派丙，这样能使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．例5．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，，，假设，，互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．（1）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（2）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小．【解析】解：（1）按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：；若甲在先，丙次之，乙最后的顺序派人，任务被完成的概率为：，发现任务被完成的概率是一样的，同理可以验证，不论如何改变3人的先后顺序，任务能被完成的概率不会发生变化；（2）由题意得的可能取值为1，2，3，按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，所需派出的人员数目的分布列为：123所以．因为，且，其它情况同理可得，所以要使所需派出的人员数目的均值得到最小，只能先派甲乙中的一人，若先派甲，再派乙，最后派丙，则．若先派乙，再派甲，最后派丙，则；所以，所以先派甲，再派乙，最后派丙时，派出的人员数目的数学期望达到最小．例6．一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为.每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为.（1）证明：在各个取值对应的概率中，概率的值最大.（2）在特殊的勘探仼务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发.现在有三个勘探小组可派出，若小组能完成特殊任务的概率，且各个小组能否完成任务相互独立.试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.【解析】（1）证明：由已知，的所有可能取值为0,1,2,3.∴概率的值最大.（2）解：由（1）可知，由有的值最大，且∴应当以的顺序派出助探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值.证明如下：假定为的任意一个排列，即若三个小组按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为，记在特殊助探时所需派出的小组个数为，则，且的分布列为：123P下面证明成立.方法一：若，可发现当派出的前两个小组的顺序不变时，第一个派出的小组完成的概率越大，越小；若，可发现当派出的第一个小组不变，后两个小组的顺序变换时，则第二个派出的小组完成的概率越大，越小.可见，按照完成任务概率从大到小的的小组顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.方法二:∴按照完成任务概率从大到小的的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小.例7．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求、的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为，2，，其中表示第个出场选手解密成功的概率，并且定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立．①求该团队挑战成功的概率；②该团队以从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目的分布列与数学期望．【解析】解：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，，解得，．解得．甲在1分钟内解密成功的频率是．（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为，第二个出场选手解密成功的概率为，第三个出场选手解密成功的概率为，该团队挑战成功的概率为．②由①知按从小到大的顺序的概率分别为，，，根据题意知的可能取值为1，2，3，则，，，团队挑战成功所需派出的人员数目的分布列为：1230.90.0910.009．例8．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，，，假设，，互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，，，其中，，是，，的一个排列，求所需派出人员数目的分布列和均值（数学期望）；（Ⅲ）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．【解析】解：（Ⅰ）任务不能被完成的概率为为定值，所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关．任务能被完成的概率为（Ⅱ）的取值为1，2，3（Ⅲ），若交换前两个人的派出顺序，则变为，由此可见，当时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；若保持第一人派出的人选不变，交换后个人的派出顺序，可写为，交换后个人的派出顺序则变为，当时交换后个人的派出顺序可增大均值故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．