高考数学专题26 建议问题（解析版）

专题26建议问题例1．从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：上一年出险次数012345次以上(含5次)下一年保费倍率85%100%125%150%175%200%连续两年没出险打7折，连续三年没出险打6折经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(其中(单位：万元)表示购车价格，(单位：元)表示商业车险保费)：(8，2150)，(11，2400)，(18，3140)，(25，3750)，(25，4000)，(31，4560)，(37，5500)，(45，6500)，已知由这8组数据得到的回归直线方程为．（1）求的值；（2）广东李先生2017年1月购买了一辆价值20万元的新车，①估计李先生购车时的商业车险保费；②若该车2017年3月已出过一次险，5月又被刮花了，李先生到汽车维修店询价，预计修车费用为500元，理赔专员建议李先生自费维修(即不出险)，你认为李先生是否应该接受该建议？请说明理由．(假设车辆2017年与2018年都购买相同的商业车险产品)【解析】（1）(万元)，(元)，由于回归直线经过样本点的中心，即，所以，解得．（2）①价值为20万元的车辆的商业车险保费预报值为元．②由于该车已出险一次，若再出险一次，则保费要增加25%，即保费增加元．因为，若出险，2018年增加的保费大于500元，所以李先生应接受理赔专员的建议．例2．为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一阶段的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩、物理成绩进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学888311792108100112物理949110896104101106（1）他的数学成绩与物理成绩哪个更稳定？请给出你的证明；（2）已知该生的物理成绩与数学成绩是线性相关的，若该生的物理成绩达到115分，请你估计他的数学成绩大约是多少？并请你根据物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．参考公式：方差公式：，其中为样本平均数.，。【解析】（1），，∴，∴，从而，∴物理成绩更稳定.（2）由于与之间具有线性相关关系，根据回归系数公式得到，，∴线性回归方程为，当时，.建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳定性，将有助于物理成绩的进一步提高例3．某工程设备租赁公司为了调查A，B两种挖掘机的出租情况，现随机抽取了这两种挖掘机各100台，分别统计了每台挖掘机在一个星期内的出租天数，统计数据如下表：(I)根据这个星期的统计数据，将频率视为概率，求该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(II)如果A，B两种挖掘机每台每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种挖掘机中购买一台，请你根据所学的统计知识，给出建议应该购买哪一种类型，并说明你的理由．【解析】（I）设“事件表示一台Ａ型挖掘机在一周内出租天数恰好为天”， “事件表示一台Ｂ型挖掘机在一周内出租天数恰好为天”，其中 则该公司一台A型挖掘机，一台B型挖掘机一周内合计出租天数恰好为4天的概率为 所以该公司一台A型车，一台B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为（Ⅱ）设为A型挖掘机出租的天数，则的分布列为12345670.050.100.300.350.150.030.02设为B型挖掘机出租的天数，则的分布列为145670.140.200.200.160.150.100.05一台A类型的挖掘机一个星期出租天数的平均值为3.62天，一台辆B类型的挖掘机一个星期出租天数的平均值为3.48天，选择A类型的挖掘机更加合理.例4．小型风力发电项目投资较少，开发前景广阔.受风力自然资源影响，项目投资存在一定风险.根据测算，IEC（国际电工委员会）风能风区的分类标准如下：风能分类一类风区二类风区平均风速m/s8.5---106.5---8.5某公司计划用不超过100万元的资金投资于A、B两个小型风能发电项目.调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利%的可能性为0.6，亏损%的可能性为0.4；B项目位于二类风区，获利35%的可能性为0.6，亏损10%的可能性是0.2，不赔不赚的可能性是0.2.假设投资A项目的资金为（）万元，投资B项目资金为（）万元，且公司要求对A项目的投资不得低于B项目.（Ⅰ）记投资A，B项目的利润分别为和，试写出随机变量与的分布列和期望，;（Ⅱ）根据以上的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利润之和的最大值，并据此给出公司分配投资金额建议.【解析】解：（1）A项目投资利润的分布列P0.60.4B项目投资利润的分布列0P0.60.20.2（2）而如图所示由图可知，当，公司获得获利最大，最大为17.5万元.建议给两公司各投资50万.例5．张老师开车上班,有路线①与路线②两条路线可供选择.路线①:沿途有两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为,若处遇红灯或黄灯,则导致延误时间2分钟;若处遇红灯或黄灯,则导致延误时间3分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为20分钟.路线②:沿途有两处独立运行的交通信号灯,且两处遇到绿灯的概率依次为,若处遇红灯或黄灯,则导致延误时间8分钟;若处遇红灯或黄灯,则导致延误时间5分钟;若两处都遇绿灯,则全程所花时间为15分钟.(1)若张老师选择路线①,求他20分钟能到校的概率;(2)为使张老师日常上班途中所花时间较少,你建议张老师选择哪条路线?并说明理由.【解析】（1）走路线①，20分钟能到校意味着张老师在两处均遇到绿灯，记该事件为，则.（2）设选择路线①的延误时间为随机变量,则的所有可能取值为0，2，3，5.则，.的数学期望.设选择路线②的延误时间为随机变量，则的可能取值为0，8，5，13.则，.的数学期望.因此选择路线①平均所花时间为分钟，选择路线②平均所花时间为分钟，所以为使张老师日常上班途中所花时间较少，建议张老师选择路线②.例6．某公司每个工作日由位于市区的总公司向位于郊区的分公司开一个来回的班车（每年按200个工作日计算），现有两种使用班车的方案，方案一是购买一辆大巴，需花费90万元，报废期为10年，车辆平均每年的各种费用合计5万元，司机年工资6万元，司机每天请假的概率为0.1（每年请假时间不超过15天不扣工资，超过15天每天100元），若司机请假则需从公交公司雇佣司机，每天支付300元工资.方案二是租用公交公司的车辆（含司机），根据调研每年12个月的车辆需求指数如直方图所示，其中当某月车辆需求指数在时，月租金为万元.（1）若购买大巴，设司机每年请假天数为，求公司因司机请假而增加的花费（元）及使用班车年平均花费（万元）的数学期望.（2）试用调研数据，给出公司使用班车的建议，使得年平均花费最少.【解析】⑴由已知，当时，，当时，所以由已知，所以所以（万元）⑵若使用方案二，由已知每年租车费用为1.2万元的月份为每年租车费用为1.4万元的月份为；每年租车费用为1.6万元的月份为；每年租车费用为1.8万元的月份为；每年租车费用为2万元的月份为；所以方案二每年的平均费用为万元所以应该使用方案二，可以使得年平均花费最少例7．某糕点房推出一类新品蛋糕，该蛋糕的成本价为4元，售价为8元．受保质期的影响，当天没有销售完的部分只能销毁．经过长期的调研，统计了一下该新品的日需求量．现将近期一个月(30天)的需求量展示如下：日需求量(个)20304050天数510105(1)从这30天中任取两天，求两天的日需求量均为40个的概率；(2)以表中的频率作为概率，根据分布列求出该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值；现有员工建议扩大生产一天45个，试列出生产45个时，利润的分布列并求出期望，并以此判断此建议该不该被采纳．【解析】(1)从这30天中任取2天，基本事件总数，2天的日需求量均为40个包含的基本事件个数，∴两天的日需求量均为40个的概率．(2)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为，，，，，∴的分布列为：60140180，∵该糕点房一天制作35个该类蛋糕时，对应的利润的期望值，，∴此建议不该被采纳．例8．为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏，从中部选择河北、湖北，从西部选择宁夏，从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区．在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记．由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，如有些对象对普查有误解，配合不够主动；参与普查工作的技术人员对全新的操作平台运用还不够熟练等，这为正式普查提供了宝贵的试点经验．在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位4050个体经营户50150合计（1）写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）补全上述列联表（在答题卡填写），并根据列联表判断是否有90%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”；（3）根据该试点普查小区的情况，为保障第四次经济普查的顺利进行，请你从统计的角度提出一条建议．附：【解析】（1）分层抽样（2）完成列联表普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户10050150合计14060200将列联表中的数据代入公式计算得，所以有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”．（3）（意思相近即可得分）建议：加大宣传力度，消除误解因素，尤其要做好个体经营户的思想工作.例9．荆楚湖北素有“板栗之乡”称号，但板栗的销售受季节的影响，储存时间不能太长。我校数学兴趣小组对近年某食品销售公司的销售量（吨）和板栗销售单价（元/千克）之间的关系进行了调查，得到如下表数据：销售单价（元/公斤）1110.5109.598销售量（吨）568101114.1(1)根据前5组数据，求出y关于的回归直线方程;(2)若回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的差的绝对值不超过0.5（即），则认为回归直线方程是理想的，试问（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？(3)如果今年板栗销售仍然服从（Ⅰ）中的关系，且板栗的进货成本为2.5元/千克，且货源充足（未售完的部分可按成本全部售出），为了使利润最大，请你帮助该公司就销售单价给出合理建议.（每千克销售单价不超过12元）.参考公式：回归直线方程，其中，.参考数据：【解析】（1）因为,所以所以，所以关于x的回归直线方程为：.（2）当时，，则，所以可以认为回归直线方程是理想的.（3）设销售利润为W(千元)，则，因为所以当且仅当，即时，W取得最大值.所以可建议该公司将销售价格定位7.5元/千克.例10．国家统计局进行第四次经济普查，某调查机构从15个发达地区，10个欠发达地区，5个贫困地区中选取6个作为国家综合试点地区，然后再逐级确定普查区域，直到基层的普查小区.普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记，由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验，在某普查小区，共有50家企事业单位，150家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户9060150合计13070200（1）写出选择6个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有97.5%的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”，分析造成这个结果的原因并给出合理化建议.附：参考公式：，其中参