高考数学微专题18 圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究（原卷版）

微专题18圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究秒杀总结交点轨迹问题的常用技巧：1.两直线方程相乘消元2.两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元3.定比点差法4.同构5.硬解坐标典型例题例1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若是线段的中点，求直线的方程；(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．(1)求抛物线的方程；(2)设点，为直线上一动点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点，求直线的方程，并证明直线过定点；(3)过（2）中的点的直线交抛物线于，两点，过点，分别作抛物线的切线，，求，交点满足的轨迹方程．例3．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．(1)求椭圆的方程；(2)若直线与椭圆交于，两点，且为坐标原点），于点．试求点的轨迹方程．例4．（2022·全国·高三开学考试（理））椭圆：的离心率为，且过点.(1)求椭圆的方程；(2)，分别为椭圆的左､右焦点，动点A，B在椭圆上（不含长轴端点），且关于y轴对称，P为椭圆上异于A，B的动点，直线PA与PB分别交y轴于M，N两点求证：直线与的交点在定圆上.过关测试1．（2022·上海民办南模中学高三阶段练习）如图，A、B是椭圆长轴的两个端点，M、N是椭圆上与A、B均不重合的相异两点，设直线AM、BN、AN的斜率分别是、、．(1)若直线MN过点，求证：为定值；(2)设直线MN与x轴的交点为(t为常数且)，试探究直线AM与直线BN的交点Q是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．2．（2022·江苏南京·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：)的上顶点为，离心率，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与x轴交于M，N两点，过点M，N分别作直线PA，QA的垂线，设交点为R．(1)求椭圆C的方程；(2)证明：点R在定直线上运动．3．（2022·山西·一模（理））在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A，B分别是C的左、右顶点．(1)求C的方程；(2)已知过点的直线交C于M，N两点（异于点A，B），试证直线MA与直线NB的交点在定直线上．4．（2022·河南·模拟预测（理））在直角坐标系中，椭圆与直线交于M，N两点，P为MN的中点．(1)若，且N在x轴下方，求的最大值；(2)设A，B为椭圆的左、右顶点，证明：直线AN，BM的交点D恒在一条定直线上．5．（2022·河南·模拟预测（文））已知椭圆的左、右顶点分别为，离心率为直线和C交于M，N两点(1)当时，求的值；(2)设直线的交点为D，证明：点D恒在一条定直线上．6．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知椭圆C：的离心率为，其长轴的两个端点分别为，．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P为椭圆上除A，B外的任意一点，直线AP交直线x＝4于点E，点O为坐标原点，过点O且与直线BE垂直的直线记为l，直线BP交y轴于点M，交直线l于点N，求N点的轨迹方程，并探究△BMO与△NMO的面积之比是否为定值．7．（2022·广东珠海·高三期末）已知椭圆的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（不同于A，B两点），且直线时，求F在l上的射影H的轨迹方程．8．（2022·河北石家庄·一模）已知抛物线：（），过点的直线与抛物线交于，两点（在的左侧），为线段的中点.当直线斜率为时，中点的纵坐标为.(1)求抛物线的方程；(2)若线段上存在点，使得，求点的轨迹方程.9．（2022·贵州贵阳·一模（文））已知椭圆C：与直线（不平行于坐标轴）相切于点M，过点M且与垂直的直线分别交x轴､y轴于A，，B两点.(1)证明：直线与椭圆C相切；(2)当点M运动时，点P（m，n）随之运动，求点P的轨迹方程.10．（2022·全国·高三专题练习）设M是椭圆C：上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程.11．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，O为顶点，A、B为抛物线上的两动点，且满足OA⊥OB，如果OM⊥AB于M点，求点M的轨迹方程.12．（2022·全国·高三专题练习）为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程．13．（2022·全国·高三专题练习）已知动点P与定点的距离和它到定直线的距离之比为，记P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)过点的直线与曲线C交于两点，分别为曲线C与x轴的两个交点，直线交于点N，求证:点N在定直线上．