2013年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）

2013年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B独立，那么。第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题。每小题5分共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、复数满组（为虚数单位），则的共轭复数为(A)(B)(C)(D)2、已知集合，则集合中元素的个数是(A)1(B)3(C)5(D)93、已知函数为奇函数，且当时，则(A)-2(B)0(C)1(D)24、已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为(A)(B)(C)(D)5、将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为(A)(B)(C)(D)6、在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则直线的斜率的最小值为(A)2(B)1(C)(D)7、给定两个命题若是的必要不充分条件，则是的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件8、函数的图象大致为(A)(B)(C)(D)9、过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为(A)(B)(C)(D)10、用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(A)243(B)252(C)261(D)27911、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点若在点处的切线平行于的一条渐近线，则(A)(B)(C)(D)是结束输出否开始输入12、设正实数满足则当取得最大值时，的最大值为(A)0(B)1(C)(D)第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。13、执行右图所示的程序框图，若输入的值为0.25，则输出的的值为_______.14、在区间上随机取一个数，使得成立的概率为______.15、已知向量与的夹角为，且若，且，则实数的值为____________.16、定义“正对数”：现有四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中的真命题有__________.（写出所有真命题的编号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.17、（本小题满分12分）设的内角所对的边分别为，且.FPHEGACBQD（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.18、（本小题满分12分）如图所示，在三棱锥中，，，分别是的中点，，与交于点，与交于点，连接.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值。19、（本小题满分12分）甲、乙两支球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。（Ⅰ）分别求甲队以3：0，3：1，3：2胜利的概率；（Ⅱ）若比赛结果为3：0或3：1，则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分、对方得1分。求乙队得分的分布列和数学期望。20、（本小题满分12分）设等差数列的前项和为，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列的前项和为，且（为常数）。令，求数列的前项和。21、（本小题满分13分）设函数（是自然对数的底数，）（Ⅰ）求的单调区间、最大值；（Ⅱ）讨论关于的方程根的个数。22、（本小题满分13分）椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接。设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点。设直线的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值.一、选择题1．（5分）（2013•山东）复数z满足（z﹣3）（2﹣i）=5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（ ） A．2+iB．2﹣iC．5+iD．5﹣i考点：复数的基本概念．3253948专题：计算题．分析：利用复数的运算法则求得z，即可求得z的共轭复数．解答：解：∵（z﹣3）（2﹣i）=5，∴z﹣3==2+i∴z=5+i，∴=5﹣i．故选D．点评：本题考查复数的基本概念与基本运算，求得复数z是关键，属于基础题． 2．（5分）（2013•山东）已知集合A={0，1，2}，则集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（ ） A．1B．3C．5D．9考点：集合中元素个数的最值．3253948专题：计算题．分析：依题意，可求得集合B={﹣2，﹣1，0，1，2}，从而可得答案．解答：解：∵A={0，1，2}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y分别取0，1，2时，x﹣y的值分别为2，1，0；∴B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B={x﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C．点评：本题考查集合中元素个数的最值，理解题意是关键，考查分析运算能力，属于中档题． 3．（5分）（2013•山东）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）=（ ） A．﹣2B．0C．1D．2考点：函数的值．3253948专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用奇函数的性质，f（﹣1）=﹣f（1），即可求得答案．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）=x2+，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，故选A．点评：本题考查奇函数的性质，考查函数的求值，属于基础题． 4．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（ ） A．B．C．D．考点：直线与平面所成的角．3253948专题：空间角．分析：利用三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为∠APA1为PA与平面ABC所成角．利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在Rt△AA1P中，利用tan∠APA1=即可得出．解答：解：如图所示，∵AA1⊥底面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面A1B1C1所成角，∵平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1为PA与平面ABC所成角．∵==．∴V三棱柱ABC﹣A1B1C1==，解得．又P为底面正三角形A1B1C1的中心，∴==1，在Rt△AA1P中，，∴．故选B．点评：熟练掌握三棱柱的性质、体积计算公式、正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键． 5．（5分）（2013•山东）函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（ ） A．B．C．0D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．3253948专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后的解析式，利用其为偶函数即可求得答案．解答：解：令y=f（x）=sin（2x+φ），则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），∵f（x+）为偶函数，∴+φ=kπ+，∴φ=kπ+，k∈Z，∴当k=0时，φ=．故φ的一个可能的值为．故选B．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查三角函数的奇偶性，属于中档题． 6．（5分）（2013•山东）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（ ） A．2B．1C．D．考点：简单线性规划．3253948专题：不等式的解法及应用．分析：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可．解答：解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，﹣1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k==﹣．故选C．点评：本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率．本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题． 7．（5分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．3253948专题：规律型．分析：根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．解答：解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键． 8．（5分）（2013•山东）函数y=xcosx+sinx的图象大致为（ ） A．B．C．D．考点：函数的图象．3253948专题：函数的性质及应用．分析：给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．解答：解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．点评：本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题． 9．（5分）（2013•山东）过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（ ） A．2x+y﹣3=0B．2x﹣y﹣3=0C．4x﹣y﹣3=0D．4x+y﹣3=0考点：圆的切线方程；直线的一般式方程．3253948专题：计算题；直线与圆．分析：由题意判断出切点（1，1）代入选项排除B、D，推出令一个切点判断切线斜率，得到选项即可．解答：解：因为过点（3，1）作圆（x﹣1）2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，所以圆的一条切线方程为y=1，切点之一为（1，1），显然B、D选项不过（1，1），B、D不满足题意；另一个切点的坐标在（1，﹣1）的右侧，所以切线的斜率为负，选项C不满足，A满足．故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，圆的切线方程求法，可以直接解答，本题的解答是间接法，值得同学学习． 10．（5分）（2013•山东）用0，1，2，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ） A．243B．252C．261D．279考点：排列、组合及简单计数问题．3253948专题：计算题．分析：求出所有三位数的个数，减去没有重复数字的三位数个数即可．解答：解：用0，1，2，…，9十个数字，所有三位数个数为：900，其中没有重复数字的三位数百位数从非0的9个数字中选取一位，十位数从余下的9个数字中选一个，个位数再从余下的8个中选一个，所以共有：9×9×8=648，所以可以组成有重复数字的三位数的个数为：900﹣648=252．故选B．点评：本题考查排列组合以及简单计数原理的应用，利用间接法求解是解题的关键，考查计算能力． 11．（5分）（2013•山东）抛物线C1：的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（ ） A．B．C．D．考点：