2009年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上;如需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。4．填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。参考公式：柱体的体积公式V=Sh，其中S是柱体的底面积，h是锥体的高。锥体的体积公式V=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B).事件A在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率:.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）集合,,若,则的值为（A）0（B）1（C）2（D）4（2）复数等于（A）B）C）D）（3）将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是（A）（B）（C）（D）22侧(左)视图222正(主)视图（4）一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（A）（B）（C）（D）（5）已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“”是“”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件xy11DOxyO11CxyO11B1xy1OA（6）函数的图像大致为ABCP第7题图(7）设P是△ABC所在平面内的一点，，则(A）(B）(C）(D）96981001021041060.1500.1250.1000.0750.050克频率/组距第8题图(８）某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(A）90(B）75(C）60(D）45(9）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(A）(B）5(C）(D）(10）定义在R上的函数f(x)满足f(x)=，则f（2009）的值为(A）-1(B）0(C）1(D）2（11）在区间[-1，1]上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为().（A）（B）（C）（D）x22yO-2z=ax+by3x-y-6=0x-y+2=0（12）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a>0，b>0）的是最大值为12，则的最小值为().（A）（B）（C）（D）4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。（13）不等式的解集为.开始S=0,T=0,n=0T>SS=S+5n=n+2T=T+n输出T结束是否（14）若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是.（15）执行右边的程序框图，输入的T=.（16）已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则三、解答题：本大题共6分，共74分。（17）(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.求函数f(x)的最大值和最小正周期.设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=－，且C为锐角，求sinA.（18）（本小题满分12分）EABCFE1A1B1C1D1D如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。证明：直线EE//平面FCC；求二面角B-FC-C的余弦值。(19)(本小题满分12分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q为0.25，在B处的命中率为q，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345p0.03P1P2P3P4求q的值；求随机变量的数学期望E;试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。（20）（本小题满分12分）等比数列{}的前n项和为，已知对任意的，点，均在函数且均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b=2时，记证明：对任意的，不等式成立（21）（本小题满分12分）两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.（I）将y表示成x的函数；（Ⅱ）讨论（I）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。（22）（本小题满分14分）设椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。2009年高考数学山东理科解析一、选择题1．【答案】D【解题关键点】因为.所以,选D.2．【答案】C【解题关键点】因为，故选C.3．【答案】B【解题关键点】由题意知：平移后的函数解析式为，，选B.4．【答案】C【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的，所以改几何体的体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和，其中圆柱的底面园直径为2，高为2，所以圆柱的体积为，正四棱锥的测棱长为2，底面正方形的对角线为2，所以此正四棱锥的体积,为故选C.5．【答案】B【解题关键点】由为平面内的一条直线且得出；但是，反过来，若且为平面内的一条直线，则不一定有，还可能有与平面相交但不垂直、、.故选B.6．【答案】A【解题关键点】排除法：因为当时，函数无意义，故排除,故选A.7．【答案】B【解题关键点】因为，所以点为的中点，.即有，故选B.8．【答案】A【解题关键点】因为样品中产品净重小于100克的个数为36，所以样本容量为，所以样本中产品净重大于或等于98克并且小于104克的个数为，故选A.9．【答案】D【解题关键点】由题意知：双曲线的一条渐近线为，由方程组消去y，得有唯一解，所以，所以，故选D.10．【答案】C【解题关键点】由已知得所以函数的值以6为周期重复性出现，所以，故选C11．【答案】A【解题关键点】当时，在区间上，只有或，即，根据几何概型的计算方法，这个概率值是.12．【答案】A【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分，由题意知：当直线过直线与直线的交点时，目标函数取最大值12，即，即，而，当且仅当时取等号，故选A.二、填空题13．【答案】【解题关键点】原不等式等价于，两边平方并整理得：，解得.14．【答案】【解题关键点】函数=(且)有两个零点，方程有两个不相等的实数根，即两个函数与的图像有两个不同的交点，当时，两个函数的图像有且仅有一个交点，不合题意；当时，两个函数的图像有两个交点，满足题意.15．【答案】30【解题关键点】由框图知，S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.16．【答案】【解题关键点】因为定义在上的奇函数，满足，所以，所以，由为奇函数，所以函数图像关于直线对称且，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为在区间上是增函数，所以在区间上也是增函数，如下图所示，那么方程在区间上有四个不同的根，不妨设，由对称性知，，，所以.三、解答题17．【答案】（I），当时，函数的最大值为，最小正周期为.（II）==－，得到，又为锐角，故，故.18．【答案】解法一：（I）在在直四棱柱中，取的中点，连结，由于，所以平面，因此平面即为平面，连结，，由于，所以四边形为平行四边形，因此，又因为、分别是棱、的中点，所以，所以，又因为平面，平面，所以直线平面.（II）因为是棱的中点，所以为正三角形，取的中点，则，又因为直四棱柱中，平面，所以，所以，过在平面内作，垂足为，连接，则为二面角的一个平面角，在为正三角形中，，在中，～，∵∴，在中，，，所以二面角的余弦值为.解法二:（I）因为是棱的中点所以，为正三角形，因为为等腰梯形,所以,取的中点,连接,则,所以，以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系如图所示,则（0,0,0），，，，，，，所以,,设平面的法向量为则所以取,则,所以,所以直线平面.（II）,设平面的法向量为,则所以，取，则，,，所以,由图可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.19．【答案】（I）设该同学在处投中为事件,在处投中为事件,则事件,相互独立,且,,,.根据分布列知:=0时=0.03,所以,.（II=2\*ROMAN）当=2时,=，()，()当=3时,=；当=4时,=；当=5时,=所以随机变量的分布列为随机变量的数学期望.（III）该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率为；该同学选择（I）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.因此该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在处投以后都在处投得分超过3分的概率.20．【答案】（I）由题意知：.当时，，由于且，所以当时，{}是以为公比的等比数列，又，，即，解得.（II）当时，，又当时，，适合上式，，，下面有数学归纳法来证明不等式：证明：（1）当时，左边右边，不等式成立.（2）假设当时，不等式成立，即，当时，左边，所以当时,不等式也成立.由（1）、（2）可得当时，不等式恒成立，所以对任意的，不等式成立.21．【答案】（I）如右图,由题意知,,当垃圾处理厂建在弧的中点时，垃圾处理厂到、的距离都相等，且为，所以有，解得，（II）,令，得，解得，即，又因为，所以函数在上是减函数，在上是增函数，当时，y取得最小值，所以在弧上存在一点，且此点到城市的距离为，使建在此处的垃圾处理厂对城市、的总影响度最小.【解题关键点】【结束】22．【答案】（I）椭圆:过（2，），(,1)两点，，解得，所以椭圆的方程为.（II）假设存在该圆，满足条件，则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，只该圆在椭圆内部，设该圆的方程为，则当直线的斜率存在时，设该圆的切线方程为，解方程组得,即,则,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或，因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,，当时,，当时，因为所以,故当AB的斜率不存在时,.综上，存在圆心在原点的圆，