2009年高考真题数学【理】(山东卷)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 18页 · 1.5 M

2009年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页,满分150分,考试时间120分钟。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上;如需改动,先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。参考公式:柱体的体积公式V=Sh,其中S是柱体的底面积,h是锥体的高。锥体的体积公式V=,其中S是锥体的底面积,h是锥体的高。如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)P(B).事件A在一次试验中发生的概率是,那么次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率:.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)集合,,若,则的值为(A)0(B)1(C)2(D)4(2)复数等于(A)B)C)D)(3)将函数的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是(A)(B)(C)(D)22侧(左)视图222正(主)视图(4)一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(A)(B)(C)(D)(5)已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“”是“”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件xy11DOxyO11CxyO11B1xy1OA(6)函数的图像大致为ABCP第7题图(7)设P是△ABC所在平面内的一点,,则(A)(B)(C)(D)96981001021041060.1500.1250.1000.0750.050克频率/组距第8题图(8)某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[96,106],样本数据分组为[96,98),[98,100),[100,102),[102,104),[104,106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36,则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是(A)90(B)75(C)60(D)45(9)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为(A)(B)5(C)(D)(10)定义在R上的函数f(x)满足f(x)=,则f(2009)的值为(A)-1(B)0(C)1(D)2(11)在区间[-1,1]上随机取一个数x,的值介于0到之间的概率为().(A)(B)(C)(D)x22yO-2z=ax+by3x-y-6=0x-y+2=0(12)设x,y满足约束条件,若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的是最大值为12,则的最小值为().(A)(B)(C)(D)4第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分。(13)不等式的解集为.开始S=0,T=0,n=0T>SS=S+5n=n+2T=T+n输出T结束是否(14)若函数f(x)=a-x-a(a>0且a1)有两个零点,则实数a的取值范围是.(15)执行右边的程序框图,输入的T=.(16)已知定义在R上的奇函数,满足,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根,则三、解答题:本大题共6分,共74分。(17)(本小题满分12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.求函数f(x)的最大值和最小正周期.设A,B,C为ABC的三个内角,若cosB=,f()=-,且C为锐角,求sinA.(18)(本小题满分12分)EABCFE1A1B1C1D1D如图,在直四棱柱ABCD-ABCD中,底面ABCD为等腰梯形,AB//CD,AB=4,BC=CD=2,AA=2,E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。证明:直线EE//平面FCC;求二面角B-FC-C的余弦值。(19)(本小题满分12分)在某校组织的一次篮球定点投篮训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投第三次,某同学在A处的命中率q为0.25,在B处的命中率为q,该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为02345p0.03P1P2P3P4求q的值;求随机变量的数学期望E;试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。(20)(本小题满分12分)等比数列{}的前n项和为,已知对任意的,点,均在函数且均为常数)的图像上.(1)求r的值;(11)当b=2时,记证明:对任意的,不等式成立(21)(本小题满分12分)两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关,对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和,记C点到城A的距离为xkm,建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y,统计调查表明:垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比,比例系数为4;对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在的中点时,对城A和城B的总影响度为0.065.(I)将y表示成x的函数;(Ⅱ)讨论(I)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点到城A的距离;若不存在,说明理由。(22)(本小题满分14分)设椭圆E:(a,b>0)过M(2,),N(,1)两点,O为坐标原点,(I)求椭圆E的方程;(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且?若存在,写出该圆的方程,并求|AB|的取值范围,若不存在说明理由。2009年高考数学山东理科解析一、选择题1.【答案】D【解题关键点】因为.所以,选D.2.【答案】C【解题关键点】因为,故选C.3.【答案】B【解题关键点】由题意知:平移后的函数解析式为,,选B.4.【答案】C【解题关键点】由题意可知该几何体为一正四棱锥与一圆柱拼接而成的,所以改几何体的体积为这个圆柱的体积与这个正四棱锥的体积之和,其中圆柱的底面园直径为2,高为2,所以圆柱的体积为,正四棱锥的测棱长为2,底面正方形的对角线为2,所以此正四棱锥的体积,为故选C.5.【答案】B【解题关键点】由为平面内的一条直线且得出;但是,反过来,若且为平面内的一条直线,则不一定有,还可能有与平面相交但不垂直、、.故选B.6.【答案】A【解题关键点】排除法:因为当时,函数无意义,故排除,故选A.7.【答案】B【解题关键点】因为,所以点为的中点,.即有,故选B.8.【答案】A【解题关键点】因为样品中产品净重小于100克的个数为36,所以样本容量为,所以样本中产品净重大于或等于98克并且小于104克的个数为,故选A.9.【答案】D【解题关键点】由题意知:双曲线的一条渐近线为,由方程组消去y,得有唯一解,所以,所以,故选D.10.【答案】C【解题关键点】由已知得所以函数的值以6为周期重复性出现,所以,故选C11.【答案】A【解题关键点】当时,在区间上,只有或,即,根据几何概型的计算方法,这个概率值是.12.【答案】A【解题关键点】不等式表示的平面区域如图所示的阴影部分,由题意知:当直线过直线与直线的交点时,目标函数取最大值12,即,即,而,当且仅当时取等号,故选A.二、填空题13.【答案】【解题关键点】原不等式等价于,两边平方并整理得:,解得.14.【答案】【解题关键点】函数=(且)有两个零点,方程有两个不相等的实数根,即两个函数与的图像有两个不同的交点,当时,两个函数的图像有且仅有一个交点,不合题意;当时,两个函数的图像有两个交点,满足题意.15.【答案】30【解题关键点】由框图知,S=5,n=2,T=2;S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;S=20.n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,输出T=30.16.【答案】【解题关键点】因为定义在上的奇函数,满足,所以,所以,由为奇函数,所以函数图像关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间上是增函数,所以在区间上也是增函数,如下图所示,那么方程在区间上有四个不同的根,不妨设,由对称性知,,,所以.三、解答题17.【答案】(I),当时,函数的最大值为,最小正周期为.(II)==-,得到,又为锐角,故,故.18.【答案】解法一:(I)在在直四棱柱中,取的中点,连结,由于,所以平面,因此平面即为平面,连结,,由于,所以四边形为平行四边形,因此,又因为、分别是棱、的中点,所以,所以,又因为平面,平面,所以直线平面.(II)因为是棱的中点,所以为正三角形,取的中点,则,又因为直四棱柱中,平面,所以,所以,过在平面内作,垂足为,连接,则为二面角的一个平面角,在为正三角形中,,在中,~,∵∴,在中,,,所以二面角的余弦值为.解法二:(I)因为是棱的中点所以,为正三角形,因为为等腰梯形,所以,取的中点,连接,则,所以,以为轴,为轴,为轴建立空间直角坐标系如图所示,则(0,0,0),,,,,,,所以,,设平面的法向量为则所以取,则,所以,所以直线平面.(II),设平面的法向量为,则所以,取,则,,,所以,由图可知二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.19.【答案】(I)设该同学在处投中为事件,在处投中为事件,则事件,相互独立,且,,,.根据分布列知:=0时=0.03,所以,.(II=2\*ROMAN)当=2时,=,(),()当=3时,=;当=4时,=;当=5时,=所以随机变量的分布列为随机变量的数学期望.(III)该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率为;该同学选择(I)中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.因此该同学选择都在处投篮得分超过3分的概率大于该同学选择第一次在处投以后都在处投得分超过3分的概率.20.【答案】(I)由题意知:.当时,,由于且,所以当时,{}是以为公比的等比数列,又,,即,解得.(II)当时,,又当时,,适合上式,,,下面有数学归纳法来证明不等式:证明:(1)当时,左边右边,不等式成立.(2)假设当时,不等式成立,即,当时,左边,所以当时,不等式也成立.由(1)、(2)可得当时,不等式恒成立,所以对任意的,不等式成立.21.【答案】(I)如右图,由题意知,,当垃圾处理厂建在弧的中点时,垃圾处理厂到、的距离都相等,且为,所以有,解得,(II),令,得,解得,即,又因为,所以函数在上是减函数,在上是增函数,当时,y取得最小值,所以在弧上存在一点,且此点到城市的距离为,使建在此处的垃圾处理厂对城市、的总影响度最小.【解题关键点】【结束】22.【答案】(I)椭圆:过(2,),(,1)两点,,解得,所以椭圆的方程为.(II)假设存在该圆,满足条件,则要使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点,只该圆在椭圆内部,设该圆的方程为,则当直线的斜率存在时,设该圆的切线方程为,解方程组得,即,则,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,,当时,,当时,因为所以,故当AB的斜率不存在时,.综上,存在圆心在原点的圆,

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