2014年高考真题数学【理】(山东卷)（含解析版）

2014高考数学山东【理】一、选择题1.已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则()A.B.C.D.2.设集合，，则()A.B.C.D.3.函数的定义域为()A.B.C.D.4.用反证法证明命题:“已知为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程没有实根B.方程至多有一个实根C.方程至多有两个实根D.方程恰好有两个实根5.已知实数满足（），则下列关系式恒成立的是()A.B.C.D.6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.B.C.2D.47.为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，，，，，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，......，第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()A.1B.8C.12D.188.已知函数,,若有两个不相等的实根,则实数的取值范围是()A.B.C.D.9.已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时，的最小值为()A.5B.4C.D.210.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为()A.B.C.D.二、填空题11.执行右面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为；开始输入x是结束否输出n12.在中，已知，当时，的面积为；13.三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则；14.若的展开式中项的系数为，则的最小值为；15.已知函数.对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是；三、解答题：本大题共6小题，共75分.16.（本小题满分12分）已知向量，，设函数，且的图象过点和点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.17.（本小题满分12分）如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，是线段的中点.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.18.（本小题满分12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在上记3分，在上记1分，其它情况记0分.对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为；对落点在上的来球，小明回球的落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.19.（本小题满分12分）已知等差数列的公差为2，前项和为，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.20.（本小题满分13分）设函数（为常数，是自然对数的底数）.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数在内存在两个极值点，求的取值范围.21.（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.参考答案2014年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学参考答案一．1、D2、C3、C4、A5、D6、D7、C8、B9、B10、A二．11、12、13、14、15、三．16、解：（Ⅰ）已知，的图像过点，解得（Ⅱ），设的对称轴为，解得，解得的单调赠区间17、解：（Ⅰ）证明：因为四边形是等腰梯形，且所以,又由是中点，因此且．连接在四棱柱中，因为,可得所以四边形为平行四边形因此又,,所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面过向做垂线交于，连接,由,可得,故为二面角的平面角在中，所以在中，,所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为．18、解：（Ⅰ）设恰有一次的落点在乙上为事件（Ⅱ）的可能取值为，的分布列为012346P其数学期望为19、解：（Ⅰ）成等比数列解得（Ⅱ）当为偶数时，当为奇数时，20、解：（Ⅰ）当时，令，则当时，单调递减；当时，单调递增．（Ⅱ）令则当时，恒成立，上单调递增，不符合题意．当时令，综上：的取值范围为．21、解：（Ⅰ）当的横坐标为时，过作轴于，为等边三角形又，，（Ⅱ）（ⅰ）设，又与相切，设切点,，，即恒过点直线过定点．（ⅱ），即点到的距离，当且仅当时，“”成立．选择填空解析2014年全国统一高考（山东）理科真题及详解一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则（A）(B)(C)(D)答案：D解析：与互为共轭复数，设集合则(A)[0,2](B)(1,3)(C)[1,3)(D)(1,4)答案：C解析：函数的定义域为(A)(B)(C)(D)答案：C解析：或或。4.用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是(A)方程没有实根(B)方程至多有一个实根(C)方程至多有两个实根(D)方程恰好有两个实根已知实数满足，则下列关系式恒成立的是(A)(B)(C)(D)答案：D解析：，排除A,B，对于C，是周期函数，排除C。6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（A）（B）（C）2（D）4答案：D解析：，第一象限7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（A）（B）（C）（D）答案：C解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.48.已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（A）（B）（C）（D）答案：B解析：画出的图象最低点是，过原点和时斜率最小为，斜率最大时的斜率与的斜率一致。9.已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为（A）（B）（C）（D）答案：B解析：求得交点为，则，即圆心到直线的距离的平方。10.已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（A）（B）（C）（D）答案：A解析：二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。执行下面的程序框图，若输入的的值为1，则输出的的值为。答案：3解析：根据判断条件，得，输入第一次判断后循环，第二次判断后循环，第三次判断后循环，第四次判断不满足条件，退出循环，输出在中，已知，当时，的面积为。答案：解析：由条件可知，当，三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则。答案：解析：分别过向平面做高，由为的中点得，由为的中点得，所以若的展开式中项的系数为20，则的最小值为。答案：2解析：将展开，得到，令.由，得，所以.已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是。答案：解析：根据图像分析得，当与在第二象限相切时，，由恒成立得.