2009年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若,,则【】A.,B.,C.,D.,2.对于非零向量“”是“”的【】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,则等于【】A.B.C.D.4.如图1,当参数时,连续函数的图像分别对应曲线和,则【】A.B.C.D.5.从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为【】A.85B.56C.49D.286.已知D是由不等式组所确定的平面区域,则圆在区域D内的弧长为【】A.B.C.D.7.正方体的棱上到异面直线AB,C的距离相等的点的个数为【】A.2B.3C.4D.58.设函数在内有定义.对于给定的正数K,定义函数取函数。若对任意的,恒有,则【】A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上9.某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为___.10.在的展开式中,的系数为___(用数字作答).11.若,则的最小值为.12.已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中有一个内角为,则双曲线C的离心率为13.一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个体数为。14.在半径为13的球面上有A,B,C三点,AB=6,BC=8,CA=10,则(1)球心到平面ABC的距离为;(2)过A,B两点的大圆面与平面ABC所成二面角(锐角)的正切值为.15.将正分割成个全等的小正三角形(图2,图3分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为,则有,,…,.三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)在中,已知,求角A,B,C的大小17.(本小题满分12分)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的,,.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(II)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求的分布列及数学期望。18.(本小题满分12分)如图4,在正三棱柱中,,点D是的中点,点E在上,且(I)证明:平面平面;(II)求直线和平面所成角的正弦值。19.(本小题满分13分)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。(Ⅰ)试写出关于的函数关系式;(Ⅱ)当=640米时,需新建多少个桥墩才能使最小?20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d.当点P运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和(Ⅰ)求点P的轨迹C;(Ⅱ)设过点F的直线与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值。21.(本小题满分13分)对于数列,若存在常数M>0,对任意的,恒有,则称数列为数列.(Ⅰ)首项为1,公比为的等比数列是否为B-数列?请说明理由;请以其中一组的一个论断条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假,并证明你的结论;(Ⅱ)设是数列的前项和,给出下列两组论断;A组:①数列是B-数列,②数列不是B-数列;B组:③数列是B-数列,④数列不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为条件,另一组中的一个论断为结论组成一个命题。判断所给命题的真假,并证明你的结论;(Ⅲ)若数列都是数列,证明:数列也是数列。2009年高考湖南理科数学试题及全解全析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(09湖南理)若,,则【D】A.,B.,C.,D.,解:由,,易知D正确.2.(09湖南理)对于非零向量“”是“”的【A】A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解:,;反之不成立,故选A.3.(09湖南理)将函数的图象向左平移个单位后,得到函数的图象,则等于【D】A.B.C.D.解:依题意得,,易知D正确.4.(09湖南理)如图1,当参数时,连续函数的图像分别对应曲线和,则【B】A.B.C.D.解:易知,故可排除C,D,再取特殊值,结合图像可得,故选B.5.(09湖南理)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选,而丙没有入选的不同选法的种数为【C】A.85B.56C.49D.28解:除开丙,由间接法得,故选C.6.(09湖南理)已知D是由不等式组所确定的平面区域,则圆在区域D内的弧长为【B】A.B.C.D.解:作图,由,故弧长为,选B.7.(09湖南理)正方体的棱上到异面直线AB,C的距离相等的点的个数为【C】A.2B.3C.4D.5解:如图,用列举法知合要求的点的个数为:的点E、的点F、、D,共4个,故选C.8.(09湖南理)设函数在内有定义.对于给定的正数K,定义函数取函数。若对任意的,恒有,则【D】A.K的最大值为2B.K的最小值为2C.K的最大值为1D.K的最小值为1解:由恒成立知,故K有最小值,可排除A,C,又由直觉思维得在时,,排除B,因此选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.(09湖南理)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱兵乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__.解:设所求人数为,则只喜爱乒乓球运动的人数为,故.注:最好作出韦恩图!或由人.10.(09湖南理)在的展开式中,的系数为__7__(用数字作答).解:故有:,得的系数为7.11.(09湖南理)若,则的最小值为.解:,当且仅当时取等号.12.(09湖南理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中,有一个内角为,则双曲线C的离心率为.解:设双曲线C的左右焦点为,虚轴的上下两个端点为,由于故,则有,,13.(09湖南理)一个总体分为A,B两层,其个体数之比为4:1,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B层中甲、乙都被抽到的概率为,则总体中的个体数为40。解:设B层中的个体数为,则,则总体中的个体数为14.(09湖南理)在半径为13的球面上有A,B,C三点,AB=6,BC=8,CA=10,则(1)球心到平面ABC的距离为12;(2)过A,B两点的大圆面与平面ABC所成二面角(锐角)的正切值为3.解:由AB=6,BC=8,CA=10得是以B为直角顶点的直角三角形,(1)设斜边AC的中点为,则,故;(2)作,则,故15.(09湖南理)将正分割成个全等的小正三角形(图2,图3分别给出了n=2,3的情形),在每个三角形的顶点各放置一个数,使位于⊿ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数(当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列.若顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为,则有,,…,.解:若依题意顶点A,B,C处的三个数互不相同且和为1,按等差数列的性质进行计算则显然运算量较大,故常规思维不可取!可偏偏特取A,B,C处的数均为(极限法)来思考:则图2中有个,得;故图3中有个,得;易知时有个,探讨数列(可参考2006湖南卷:逆序数)由叠加法推知:个,三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(09湖南理)(本小题满分12分)在中,已知,求角A,B,C的大小.解:设.由得,所以.又因此.由得,于是.所以,,因此,既.由知,所以,从而或,既或故或。17.(09湖南理)(本小题满分12分)为拉动经济增长,某市决定新建一批重点工程,分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类.这三类工程所含项目的个数分别占总数的,,.现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设。(I)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率;(II)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数,求的分布列及数学期望。解:记第名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件i=1,2,3.由题意知相互独立,相互独立,相互独立,(i,j,k=1,2,3,且i,j,k互不相同)相互独立,且(Ⅰ)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P=(Ⅱ)解法1:设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由已知,B(3,),且=3-。所以P(=0)=P(=3)==,P(=1)=P(=2)==,P(=2)=P(=1)==,P(=3)=P(=0)==.故的分布列是0123P的数学期望E=+++=2.解法2:记第名工人选择的项目属于基础工程或产业建设工程分别为事件,i=1,2,3.由已知,相互独立,且P()=()=P()+P()=+=,所以,即,故的分布列是0123P18.(09湖南理)(本小题满分12分)如图4,在正三棱柱中,,点D是的中点,点E在上,且.(I)证明:平面平面;(II)求直线和平面所成角的正弦值。解:(I)如图所示,由正三棱柱的性质知平面.又DE平面,所以DE.而DEAE,AE=A,所以DE平面.又DE平面ADE,故平面平面.(2)解法1:如图所示,设F是AB的中点,连接DF,DC,CF.由正三棱柱的性质及D是的中点知,CD,DF.又CDDF=D,所以平面CDF.而AB∥,所以AB平面CDF.又AB平面ABC,故平面ABC平面CDF。过点D做DH垂直CF于点H,则DH平面ABC。连接AH,则HAD是AD和平面ABC所成的角。由已知AB=AA,不妨设AA=,则AB=2,DF=,DC=,CF=,AD==,DH===.所以sinHAD==。即直线AD和平面ABC所成角的正弦值为.解法2:如图所示,设O是AC的中点,以O为原点建立空间直角坐标系,不妨设AA=,则AB=2,相关各点的坐标分别是A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,),D(,,)。易知=(,1,0),=(0,2,),=(,,).设平面ABC的法向量为,则有解得故可取.所以,==。由此即知,直线AD和平面ABC所成角的正弦值为。19.(09湖南理)(本小题满分13分)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其它因素.记余下工程的费用为万元。(Ⅰ)试写出关于的函数关系式;(Ⅱ)当=640米时,需新建多少个桥墩才能使最小?解:(Ⅰ)设需新建个桥墩,则,所以(Ⅱ)由(Ⅰ)知,令,得,所以=64.当0<<64时,<0,在区间(0,64)内为减函数;当时,>0.在区间(64,640)内为增函数.所以在=64处取得最小值,此时故需新建9个桥墩才能使最小。20.(09湖南理)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的3倍之和记为d.当点P运动时,d恒等于点P的横坐标与18之和.(Ⅰ)求点P的轨迹C;(Ⅱ)设过点F的直线与轨
2009年湖南高考理科数学试题及答案
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