2008年湖南高考理科数学试题及答案

2008高考湖南理科数学试题及全解全析一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数等于()A.8 B.－8 C.8i D.－8i2．“成立”是“成立”的()A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件 3.已知变量x、y满足条件则的最大值是()A.2 B.5 C.6 D.8 4.设随机变量服从正态分布,若,则c=()A.1 B.2 C.3 D.4 5.设有直线m、n和平面、,下列四个命题中，正确的是()A.若m∥,n∥,则m∥nB.若m,n,m∥,n∥,则∥C.若，m,则mD.若，m，m,则m∥ 6.函数在区间上的最大值是()A.1 B. C. D.1+ 7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与()A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 8.若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+) 9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是()A.2 B. C. D.10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［］=1）,对于给定的nN*,定义x,则当x时，函数的值域是()A. B.C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。11..12.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于.13.设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点.14.已知函数（1）若a＞0,则的定义域是;(2)若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是.15.对有n(n≥4)个元素的总体进行抽样，先将总体分成两个子总体和(m是给定的正整数，且2≤m≤n-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则=;所有(1≤i＜j≤的和等于.三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响.求：（Ⅰ）至少有1人面试合格的概率;（Ⅱ）签约人数的分布列和数学期望.17.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.18.（本小题满分12分）数列(Ⅰ)求并求数列的通项公式；(Ⅱ)设证明：当19.（本小题满分13分）在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+(其中sin=，)且与点A相距10海里的位置C.（I）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）;（II）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.20.（本小题满分13分）若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x>2时，点P（x,0）存在无穷多条“相关弦”.给定x0>2.（I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”中的中点的横坐标相同；(II)试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.21.（本小题满分13分）已知函数(I)求函数的单调区间;（Ⅱ）若不等式对任意的都成立（其中e是自然对数的底数）.求a的最大值.一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数等于()A.8 B.－8 C.8i D.－8i【答案】D【解析】由,易知D正确.2．“成立”是“成立”的()A．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C．充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由得，由得，所以易知选B.3.已知变量x、y满足条件则的最大值是()A.2 B.5 C.6 D.8 【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为代入验证知在点时,最大值是故选C.4.设随机变量服从正态分布,若,则c=()A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B【解析】解得=2,所以选B.5.设有直线m、n和平面、,下列四个命题中，正确的是()A.若m∥,n∥,则m∥nB.若m,n,m∥,n∥,则∥C.若，m,则mD.若，m，m,则m∥ 【答案】D【解析】由立几知识,易知D正确.6.函数在区间上的最大值是()A.1 B. C. D.1+ 【答案】C【解析】由,故选C.7.设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且则与()A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:以上三式相加得所以选A.8.若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+) 【答案】B【解析】或(舍去),故选B.9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD=,AA1=1,则顶点A、B间的球面距离是()A.2 B. C. D.【答案】C【解析】设则故选C.10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2,［］=1）,对于给定的nN*,定义x,则当x时，函数的值域是()A. B.C. D. 【答案】D【解析】当x时，当时，所以;当时，当时，故函数的值域是.选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在对应题号后的横线上。11..【答案】【解析】12.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A(0,b)作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于.【答案】【解析】13.设函数存在反函数,且函数的图象过点(1,2),则函数的图象一定过点.【答案】(-1,2)【解析】由函数的图象过点(1,2)得:即函数过点则其反函数过点所以函数的图象一定过点14.已知函数（1）若a＞0,则的定义域是;(2)若在区间上是减函数，则实数a的取值范围是.【答案】,【解析】（1）当a＞0时，由得,所以的定义域是;(2)当a＞1时，由题意知;当040=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距