2008年湖南高考文科数学试题及答案word版

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2008年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学能力测试一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,,则()A.C.D.2.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已条变量满足则的最小值是()A.4B.3C.2D.14.函数的反函数是()5.已知直线m,n和平面满足,则()或或6.下面不等式成立的是()A.B.C.D.7.在中,AB=3,AC=2,BC=,则()A.B.C.D.8.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目,则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是()A.15B.45C.60D.759.长方体的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=,,则顶点A、B间的球面距离是()A.B.C.D.210.若双曲线的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是()A.B.C.D.二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在横线上。11.已知向量,,则||=_____________________.12.从某地区15000位老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如下表所示:性别人数生活能否自理男女能178278不能2321则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。13.记的展开式中第m项的系数为,若,则=__________.14.将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C,则圆C的方程是________,若过点(3,0)的直线和圆C相切,则直线的斜率为_____________.15.设表示不超过x的最大整数,(如)。对于给定的,定义则________;当时,函数的值域是_________________________。三.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响。求:(I)至少一人面试合格的概率;(II)没有人签约的概率。17.(本小题满分12分)已知函数.(I)求函数的最小正周期;(II)当且时,求的值。18.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥的底面是边长为1的菱形,,E是CD的中点,PA底面ABCD,。(I)证明:平面PBE平面PAB;(II)求二面角A—BE—P的大小。19(本小题满分13分)已知椭圆的中心在原点,一个焦点是,且两条准线间的距离为。(I)求椭圆的方程;(II)若存在过点A(1,0)的直线,使点F关于直线的对称点在椭圆上,求的取值范围。20.(本小题满分13分)数列满足(I)求,并求数列的通项公式;(II)设,,,求使的所有k的值,并说明理由。21.(本小题满分13分)已知函数有三个极值点。(I)证明:;(II)若存在实数c,使函数在区间上单调递减,求的取值范围。2008年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学能力测试一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,,则()A.C.D.【答案】B【解析】由,,,易知B正确.2.“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由得,所以易知选A.3.已条变量满足则的最小值是()A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形,其三个顶点分别为代入验证知在点时,最小值是故选C.4.函数的反函数是()【答案】B【解析】用特殊点法,取原函数过点则其反函数过点验证知只有答案B满足.也可用直接法或利用“原函数与反函数的定义域、值域互换”来解答。5.已知直线m,n和平面满足,则()或或【答案】D【解析】易知D正确.6.下面不等式成立的是()A.B.C.D.【答案】A【解析】由,故选A.7.在中,AB=3,AC=2,BC=,则()A.B.C.D.【答案】D【解析】由余弦定理得所以选D.8.某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目,则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是()A.15B.45C.60D.75【答案】C【解析】用直接法:或用间接法:故选C.9.长方体的8个顶点在同一个球面上,且AB=2,AD=,,则顶点A、B间的球面距离是()A.B.C.D.2【答案】B【解析】设则故选B.10.若双曲线的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离心率的取值范围是()A.B.C.D.【答案】C【解析】而双曲线的离心率故选C.二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在横线上。11.已知向量,,则||=_____________________.【答案】2【解析】由12.从某地区15000位老人中随机抽取500人,其生活能否自理的情况如下表所示:性别人数生活能否自理男女能178278不能2321则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人。【答案】60【解析】由上表得13.记的展开式中第m项的系数为,若,则=__________.【答案】5【解析】由得所以解得14.将圆沿x轴正向平移1个单位后所得到圆C,则圆C的方程是________,若过点(3,0)的直线和圆C相切,则直线的斜率为_____________.【答案】,【解析】易得圆C的方程是,直线的倾斜角为,所以直线的斜率为15.设表示不超过x的最大整数,(如)。对于给定的,定义则________;当时,函数的值域是_________________________。【答案】【解析】当时,当时,所以故函数的值域是.三.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)甲乙丙三人参加一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约。甲表示只要面试合格就签约,乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约。设每人面试合格的概率都是,且面试是否合格互不影响。求:(I)至少一人面试合格的概率;(II)没有人签约的概率。解:用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A,B,C相互独立,且(I)至少有一人面试合格的概率是(II)没有人签约的概率为17.(本小题满分12分)已知函数.(I)求函数的最小正周期;(II)当且时,求的值。解:由题设有.(I)函数的最小正周期是(II)由得即因为,所以从而于是18.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥的底面是边长为1的菱形,,E是CD的中点,PA底面ABCD,。(I)证明:平面PBE平面PAB;(II)求二面角A—BE—P的大小。解:解法一(I)如图所示,连结由是菱形且知,是等边三角形.因为E是CD的中点,所以又所以又因为PA平面ABCD,平面ABCD,所以而因此平面PAB.又平面PBE,所以平面PBE平面PAB.(II)由(I)知,平面PAB,平面PAB,所以又所以是二面角的平面角.在中,.故二面角的大小为解法二:如图所示,以A为原点,建立空间直角坐标系.则相关各点的坐标分别是(I)因为平面PAB的一个法向量是所以和共线.从而平面PAB.又因为平面PBE,所以平面PBE平面PAB.(II)易知设是平面PBE的一个法向量,则由得所以故可取而平面ABE的一个法向量是于是,.故二面角的大小为19(本小题满分13分)已知椭圆的中心在原点,一个焦点是,且两条准线间的距离为。(I)求椭圆的方程;(II)若存在过点A(1,0)的直线,使点F关于直线的对称点在椭圆上,求的取值范围。解:(I)设椭圆的方程为由条件知且所以故椭圆的方程是(II)依题意,直线的斜率存在且不为0,记为,则直线的方程是设点关于直线的对称点为则解得因为点在椭圆上,所以即设则因为所以于是,当且仅当上述方程存在正实根,即直线存在.解得所以即的取值范围是20.(本小题满分13分)数列满足(I)求,并求数列的通项公式;(II)设,,,求使的所有k的值,并说明理由。解:(I)因为所以一般地,当时,即所以数列是首项为0、公差为4的等差数列,因此当时,所以数列是首项为2、公比为2的等比数列,因此故数列的通项公式为(II)由(I)知,于是.下面证明:当时,事实上,当时,即又所以当时,故满足的所有k的值为3,4,5.21.(本小题满分13分)已知函数有三个极值点。(I)证明:;(II)若存在实数c,使函数在区间上单调递减,求的取值范围。解:(I)因为函数有三个极值点,所以有三个互异的实根.设则当时,在上为增函数;当时,在上为减函数;当时,在上为增函数;所以函数在时取极大值,在时取极小值.当或时,最多只有两个不同实根.因为有三个不同实根,所以且.即,且,解得且故.(II)由(I)的证明可知,当时,有三个极值点.不妨设为(),则所以的单调递减区间是,若在区间上单调递减,则,或,若,则.由(I)知,,于是若,则且.由(I)知,又当时,;当时,.因此,当时,所以且即故或反之,当或时,总可找到使函数在区间上单调递减.综上所述,的取值范围是.

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