2015年湖南高考文科数学试题及答案word版

www.ks5u.com绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=2.在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图1所示若将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动人数是 A.3 B.4 C.5 D.63.设xR，则”x>1”是”>1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若变量x,y满足约束条件QUOTE则z=2x-y的最小值为A.-1B.0C.1D.25.执行如图2所示的程序框图，如果输入n=3,则输出的S=A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE若双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为A.B.C.D.7.若实数a,b满足，则ab的最小值为A.B.2C.2D.48.设函数，则是奇函数，且在（0,1）上是增函数B.奇函数，且在（0,1）上是减函数C.偶函数，且在（0,1）上是增函数D.偶函数，且在（0,1）上是减函数9.已知点A，B，C在圆上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2,0），则的最大值为A.6B.7C.8D.910.某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件的利用率为（材料的利用率=新工件的体积/原工件的体积）A.B.C.D.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.已知集合U={1,2,3,4}，A={1，3}，B={1,3,4}，则A（）=________12.在直角坐标系xOyz中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴建立极坐标系，若曲线C的极坐标方程为ρ=3sin，则曲线C的直角坐标方程为______13.若直线3x-4y+5=0与圆x²+y²=r²（r>0）相交于A，B两点，且∠AOB=120°（O为坐标原点），则r=___________.14.若函数f（x）=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是___________15.已知w>0，在函数y=2sinmx余y=2coswx的图像的交点，距离最短的两个交点的距离为2，则w=________.三、解答题：本大题共6小题，共75分。接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖。抽奖方法是：从袋有2个红球A1、A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1、a2和2个白球b1、b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖。（=1\*ROMANI）用球的标号列出所有可能的摸出结果（=2\*ROMANII）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由。17.（本小题满分12分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA.（Ⅰ）证明：sinB=cosA（Ⅱ）若sinC—sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C.18.（本小题满分12分）如图4，直三棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点.（Ⅰ）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1（Ⅱ）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F—AEC的体积.19（本小题满分13分）设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=3Sn-Sn+1,nQUOTE.（Ⅰ）证明：an+2=3an（Ⅱ）求Sn20.（本小题满分13分）已知抛物线C1：X2=4y的焦点F也会椭圆C1：+=1（a>b>0）的一个焦点。C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A，B两点，与C1相交于C，D两点，且与同向。求C2的方程；若︱AC︱=︱BD︱，求直线l的斜率。21.（本小题满分13分）已知a>0，函数f(x)=aQUOTE(xQUOTE[0，+QUOTE））。记xe为f(x)的从小到大的第n（nQUOTE）个极值点。（Ⅰ）证明：数列{f(xn)}是等比数列；（Ⅱ）若对一切nQUOTE，xnQUOTE|f(xn)|恒成立，求a的取值范围。2015年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（每小题5分，共50分）1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（ ） A．1+iB．1﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．解答：解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题． 2．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1﹣35号，再用系数抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是（ ） A．3B．4C．5D．6考点：茎叶图．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：对各数据分层为三个区间，然后根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，然后各层按照此比例抽取．解答：解：由已知，将个数据分为三个层次是[130，138]，[139，151]，[152，153]，根据系数抽样方法从中抽取7人，得到抽取比例为，所以成绩在区间[139，151]中共有20名运动员，抽取人数为20×=4；故选B．点评：本题考查了茎叶图的认识以及利用系统抽样抽取个体的方法；关键是正确分层，明确抽取比例． 3．（5分）（2015•湖南）设x∈R，则“x＞1“是“x3＞1”的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有专题：简易逻辑．分析：利用充要条件的判断方法判断选项即可．解答：解：因为x∈R，“x＞1“⇔“x3＞1”，所以“x＞1“是“x3＞1”的充要条件．故选：C．点评：本题考查充要条件的判断，基本知识的考查． 4．（5分）（2015•湖南）若变量x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（ ） A．﹣1B．0C．1D．2考点：简单线性规划．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得A（0，1）．∴z=2x﹣y的最小值为2×0﹣1=﹣1．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 5．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（ ） A．B．C．D．考点：程序框图．菁优网版权所有分析：列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．解答：解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B点评：本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力 6．（5分）（2015•湖南）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（ ） A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a、b关系式，然后求出双曲线的离心率即可．解答：解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．点评：本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查． 7．（5分）（2015•湖南）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（ ） A．B．2C．2D．4考点：基本不等式．菁优网版权所有专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值解答：解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．点评：本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题 8．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（ ） A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数 C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数考点：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有专题：导数的综合应用．分析：求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．解答：解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．点评：本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力． 9．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（ ） A．6B．7C．8D．9考点：圆的切线方程．菁优网版权所有专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．B为（﹣1，0）时，|4+|≤7，即可得出结论．解答：解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|=|4+|．所以B为（﹣1，0）时，|4+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．点评：本题考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（ ） A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有专题：开放型；空间位置关系与距离．分析：由题意，原材料对应的几何体是圆锥，其内接正方体是加工的新工件，求出它们的体积，正方体的体积与圆锥的体积比为所求．解答：解：由题意，由工件的三视图得到原材料是圆锥，底面是直径为2的圆，母线长为3，所以圆锥的高为2，圆锥是体积为；其内接正方体的棱长为x，则，解得x=，所以正方体的体积为，所以原工件材料的利用率为：=；故选：A．点评：本题考查了由几何体的三视图得到几何体的体积以及几何体的内接正方体棱长的求法；正确还原几何体以及计算内接正方体的体积是关键，属于中档题． 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•