2015年湖南高考理科数学试题及答案

2023-10-27 · U3 上传 · 14页 · 356.5 K

2015年湖南高考数学试卷理科)参考答案试题解析 一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分1.(5分)(2015•湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=( ) A.1+iB.1﹣iC.﹣1+iD.﹣1﹣i2.(5分)(2015•湖南)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(5分)(2015•湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=( ) A.B.C.D.4.(5分)(2015•湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为( ) A.﹣7B.﹣1C.1D.25.(5分)(2015•湖南)设函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数D.偶函数,且在(0,1)上是减函数6.(5分)(2015•湖南)已知(﹣)5的展开式中含x的项的系数为30,则a=( ) A.B.﹣C.6D.﹣67.(5分)(2015•湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附“若X﹣N=(μ,a2),则P(μ﹣σ<X≤μ+σ)=0.6826.p(μ﹣2σ<X≤μ+2σ)=0.9544. A.2386B.2718C.3413D.47728.(5分)(2015•湖南)已知A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标为(2,0),则||的最大值为( ) A.6B.7C.8D.99.(5分)(2015•湖南)将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2|min=,则φ=( ) A.B.C.D.10.(5分)(2015•湖南)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率=)( ) A.B.C.D. 二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分11.(5分)(2015•湖南)(x﹣1)dx= .12.(5分)(2015•湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是 .13.(5分)(2015•湖南)设F是双曲线C:﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为 .14.(5分)(2015•湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an= .15.(5分)(2015•湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)﹣b有两个零点,则a的取值范围是 .三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:几何证明选讲16.(6分)(2015•湖南)如图,在⊙O中,相较于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相较于点F,证明:(1)∠MEN+∠NOM=180°(2)FE•FN=FM•FO. 选修4-4:坐标系与方程17.(6分)(2015•湖南)已知直线l:(t为参数).以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|•|MB|的值. 选修4-5:不等式选讲18.(2015•湖南)设a>0,b>0,且a+b=+.证明:(ⅰ)a+b≥2;(ⅱ)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立. 19.(2015•湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.(Ⅰ)证明:B﹣A=;(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.20.(2015•湖南)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖,若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.21.(2015•湖南)如图,已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形,AA1=6,且AA1⊥底面ABCD,点P、Q分别在棱DD1、BC上.(1)若P是DD1的中点,证明:AB1⊥PQ;(2)若PQ∥平面ABB1A1,二面角P﹣QD﹣A的余弦值为,求四面体ADPQ的体积. 22.(13分)(2015•湖南)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦长为2.(Ⅰ)求C2的方程;(Ⅱ)过点F的直线l与C1相交于A、B两点,与C2相交于C、D两点,且与同向.(ⅰ)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ⅱ)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形. 23.(13分)(2015•湖南)已知a>0,函数f(x)=eaxsinx(x∈[0,+∞]).记xn为f(x)的从小到大的第n(n∈N*)个极值点.证明:(Ⅰ)数列{f(xn)}是等比数列;(Ⅱ)若a≥,则对一切n∈N*,xn<|f(xn)|恒成立. 答案:1、解:∵已知=1+i(i为虚数单位),∴z===﹣1﹣i,故选:D.2、解:A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A⊆B”,“A⊆B”,可得“A∩B=A”.所以A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.故选:C.3、解:判断前i=1,n=3,s=0,第1次循环,S=,i=2,第2次循环,S=,i=3,第3次循环,S=,i=4,此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:S===故选:B4解:由约束条件作出可行域如图,由图可知,最优解为A,联立,解得C(0,﹣1).由解得A(﹣2,1),由,解得B(1,1)∴z=3x﹣y的最小值为3×(﹣2)﹣1=﹣7.故选:A.5、解:函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函数是奇函数.排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,即可推出选项,x=0时,f(0)=0;x=时,f()=ln(1+)﹣ln(1﹣)=ln3>1,显然f(0)<f(),函数是增函数,所以B错误,A正确.故选:A.6、解:根据所给的二项式写出展开式的通项,Tr+1==;展开式中含x的项的系数为30,∴,∴r=1,并且,解得a=﹣6.故选:D.7、解:由题意P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413,故选:C.8、解:由题意,AC为直径,所以||=|2+|=|4+|.所以B为(﹣1,0)时,|4+|≤7.所以||的最大值为7.故选:B.9、解:因为将函数f(x)=sin2x的周期为π,函数的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知,两个函数的最大值与最小值的差为2,有|x1﹣x2|min=,不妨x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最小值,sin(2×﹣2φ)=﹣1,此时φ=,不合题意,x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最大值,sin(2×﹣2φ)=1,此时φ=,满足题意.故选:D.10、解:根据三视图可判断其为圆锥,∵底面半径为1,高为2,∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,∴此长方体底面边长为n的正方形,高为x,∴根据轴截面图得出:=,解得;n=(1﹣),0<x<2,∴长方体的体积Ω=2(1﹣)2x,Ω′=x2﹣4x+2,∵,Ω′=x2﹣4x+2=0,x=,x=2,∴可判断(0,)单调递增,(,2)单调递减,Ω最大值=2(1﹣)2×=,∴原工件材料的利用率为=×=,故选:A11、解:(x﹣1)dx=(﹣x)|=0;故答案为:0.12、解:根据茎叶图中的数据,得;成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,用系统抽样方法从35人中抽取7人,成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取7×=4(人).故答案为:4.13、解:设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,将点(﹣c,2b)代入双曲线方程可得,﹣=1,可得e2==5,解得e=.故答案为:.14、解:设等比数列的公比为q,Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,可得4S2=S3+3S1,a1=1,即4(1+q)=1+q+q2+3,q=3.∴an=3n﹣1.故答案为:3n﹣1.15、解:∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点,∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,由x3=x2可得,x=0或x=1①当a>1时,函数f(x)的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a>1满足题意②当a=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意③当0<a<1时,函数f(x)单调递增,故不符合题意④a=0时,f(x)单调递增,故不符合题意⑤当a<0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b使得,y=f(x)与y=b有两个交点综上可得,a<0或a>1故答案为:{a|a<0或a>1}16、证明:(1)∵N为CD的中点,∴ON⊥CD,∵M为AB的中点,∴OM⊥AB,在四边形OMEN中,∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°,∴O,M,E,N四点共圆,∴∠MEN+∠NOM=180°(2)在△FEM与△FON中,∠F=∠F,∠FME=∠FNO=90°,∴△FEM∽△FON,∴=∴FE•FN=FM•FO.17、解:(1)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,故它的直角坐标方程为(x﹣1)2+y2=1;(2)直线l:(t为参数),普通方程为,(5,)在直线l上,过点M作圆的切线,切点为T,则|MT|2=(5﹣1)2+3﹣1=18,由切割线定理,可得|MT|2=|MA|•|MB|=18.18、证明:(ⅰ)由a>0,b>0,则a+b=+=,由于a+b>0,则ab=1,即有a+b≥2=2,当且仅当a=b取得等号.则a+b≥2;(ⅱ)假设a2+a<2与b2+b<2可能同时成立.由a2+a<2及a>0,可得0<a<1,由b2+b<2及b>0,可得0<b<1,这与ab=1矛盾.a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.19、解:(Ⅰ)由a=btanA和正弦定理可得==,∴sinB=cosA,即sinB=sin(+A)又B为钝角,∴+A∈(,π),∴B=+A,∴B﹣A=;(Ⅱ)由(Ⅰ)知C=π﹣(A+B)=π﹣(A++A)=﹣2A>0,∴A∈(0,),∴sinA+sinC=sinA+sin(﹣2A)=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2(sinA﹣)2+,∵A∈(0,),∴0<sinA

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