2013年湖南高考文科数学试题及答案word版

2013年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 2．（5分）（2013•湖南）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 3．（5分）（2013•湖南）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（ ） A．9B．10C．12D．13 4．（5分）（2013•湖南）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）等于（ ） A．4B．3C．2D．1 5．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ） A．B．C．D． 6．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（ ） A．0B．1C．2D．3 7．（5分）（2013•湖南）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ） A．B．1C．D． 8．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值为（ ） A．B．C．D． 9．（5分）（2013•湖南）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（ ） A．B．C．D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．（5分）（2013•湖南）已知集合U={2，3，6，8}，A={2，3}，B={2，6，8}，则（∁UA）∩B= ． 11．（5分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为 ． 12．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为 ． 13．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+y的最大值为 ． 14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为 ． 15．（5分）（2013•湖南）对于E={a1，a2，…．a100}的子集X={ai1，ai2，…，aik}，定义X的“特征数列”为x1，x2…，x100，其中xi1=xi2=…xik=1．其余项均为0，例如子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0（1）子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于 ；（2）若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…，P100满足p1=1，pi+pi+1=1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，q100满足q1=1，qj+qj+1+qj+2=1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为 ． 三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2013•湖南）已知函数f（x）=cosx•cos（x﹣）．（1）求f（）的值．（2）求使f（x）＜成立的x的取值集合． 17．（12分）（2013•湖南）如图．在直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=，AA1=3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．（1）证明：AD⊥C1E；（2）当异面直线AC，C1E所成的角为60°时，求三棱锥C1﹣A1B1E的体积． 18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（Ⅰ）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4（Ⅱ）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率． 19．（13分）（2013•湖南）设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1≠0，2an﹣a1=S1•Sn，n∈N*（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{nan}的前n项和． 20．（13分）（2013•湖南）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点F1，F2关于直线x+y﹣2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l的方程． 21．（13分）（2013•湖南）已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）（x1≠x2）时，x1+x2＜0． 2013年湖南省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013•湖南）复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有专题：计算题．分析：化简复数z，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．解答：解：z=i•（1+i）=﹣1+i，故复数z对应的点为（﹣1，1），在复平面的第二象限，故选B．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属基础题． 2．（5分）（2013•湖南）“1＜x＜2”是“x＜2”成立的（ ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．菁优网版权所有专题：不等式的解法及应用．分析：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案．解答：解：设A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜2}，∵A⊊B，故“1＜x＜2”是“x＜2”成立的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键． 3．（5分）（2013•湖南）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（ ） A．9B．10C．12D．13考点：分层抽样方法．菁优网版权所有专题：概率与统计．分析：甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，求出丙车间生产产品所占的比例，从而求出n的值．解答：解：∵甲、乙、丙三个车间生产的产品件数分别是120，80，60，∴甲、乙、丙三个车间生产的产品数量的比依次为6：4：3，丙车间生产产品所占的比例，因为样本中丙车间生产产品有3件，占总产品的，所以样本容量n=3÷=13．故选D．点评：本题主要考查了分层抽样方法，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小． 4．（5分）（2013•湖南）已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（﹣1）+g（1）=2，f（1）+g（﹣1）=4，则g（1）等于（ ） A．4B．3C．2D．1考点：奇偶性与单调性的综合．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）、g（x）的奇偶性可得关于f（1）、g（1）的方程组，消掉f（1）即可求得g（1）．解答：解：由f（x）是奇函数，g（x）是偶函数得，﹣f（1）+g（1）=2①，f（1）+g（1）=4②，由①②消掉f（1）得g（1）=3，故选B．点评：本题考查函数奇偶性及其应用，属基础题，定义是解决该类问题的基本方法． 5．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ） A．B．C．D．考点：正弦定理．菁优网版权所有专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．解答：解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．故选D．点评：本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题． 6．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为（ ） A．0B．1C．2D．3考点：根的存在性及根的个数判断；函数的图象．菁优网版权所有专题：函数的性质及应用．分析：在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的图象，数形结合可得结论．解答：解：在同一个坐标系中，画出函数f（x）=㏑x与函数g（x）=x2﹣4x+4=（x﹣2）2的图象，如图所示：故函数f（x）=㏑x的图象与函数g（x）=x2﹣4x+4的图象的交点个数为2，故选C．点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了数形结合的数学思想，属于中档题． 7．（5分）（2013•湖南）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ） A．B．1C．D．考点：简单空间图形的三视图．菁优网版权所有专题：计算题．分析：通过三视图判断正视图的形状，结合数据关系直接求出正视图的面积即可．解答：解：因为正方体的棱长为1，俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，说明侧视图是底面对角线为边，正方体的高为一条边的矩形，几何体放置如图：那么正视图的图形与侧视图的图形相同，所以正视图的面积为：．故选D．点评：本题考查几何体的三视图形状，侧视图的面积的求法，判断几何体的三视图是解题的关键，考查空间想象能力． 8．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，•=0．若向量满足|﹣﹣|=1，则||的最大值为（ ） A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算；向量的模．菁优网版权所有专题：压轴题；平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．解答：解：∵||=||=1，且，∴可设，，．∴．∵，∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．∴的最大值==．故选C．点评：熟练掌握向量的坐标运算和圆的方程及数形结合是解题的关键． 9．（5分）（2013•湖南）已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=（ ） A．B．C．D．考点：简单线性规划．