试卷类型:A2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。注意事项:答卷前,考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号,填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。参考公式:柱体的体积公式 V=Sh其中S为柱体的底面积,h为柱体的高线性回归方程中系数计算公式其中表示样本均值。N是正整数,则…)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设复数满足,其中为虚数单位,则=A.B.C.D.2.已知集合 ∣为实数,且,为实数,且,则的元素个数为A.0 B.1 C.2 D.33.若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则A.4 B.3 C.2 D.04.设函数和分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是A.是偶函数 B.是奇函数C.是偶函数 D.是奇函数5.在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点,点的坐标为,则的最大值为A. B. C.4 D.36.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为A. B. C. D.7.如图1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为A.B.C.D.8.设S是整数集Z的非空子集,如果有,则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集,且有有,则下列结论恒成立的是A.中至少有一个关于乘法是封闭的B.中至多有一个关于乘法是封闭的C.中有且只有一个关于乘法是封闭的D.中每一个关于乘法都是封闭的填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。(一)必做题(9-13题)9.不等式的解集是.10.的展开式中,的系数是(用数字作答)11.等差数列前9项的和等于前4项的和.若,则k=____________.12.函数在x=____________处取得极小值。13.某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.选做题(14-15题,考生只能从中选做一题)14.(坐标系与参数方程选做题)已知两面线参数方程分别为和,它们的交点坐标为___________.15.(几何证明选讲选做题)如图4,过圆外一点分别作圆的切线和割线交圆于,,且=7,是圆上一点使得=5,∠=∠,则=。解答题。本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。(本小题满分12分)已知函数求的值;设求的值.17.为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:编号12345x169178166175180y7580777081已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。18.(本小题满分13分)如图5.在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形,且∠DAB=60,,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.(1)证明:AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.19.(本小题满分14分)设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切。(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)已知点M,且P为L上动点,求的最大值及此时点P的坐标.20.(本小题共14分)设b>0,数列满足a1=b,.(1)求数列的通项公式;(2)证明:对于一切正整数n,21.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:.实数p,q满足,x1,x2是方程的两根,记。(1)过点作L的切线教y轴于点B.证明:对线段AB上任一点Q(p,q)有(2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a2-4b>0,a≠0.过M(a,b)作L的两条切线,切点分别为,与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明:M(a,b)X;(3)设D={(x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时,求的最小值(记为)和最大值(记为).2011年广东高考理科数学参考答案一、选择题题号12345678答案BCDACDBA二、填空题9. ; 10. 84; 11. 10; 12. 2; 13. 185;14. ; 15. ;三、解答题16.解:(1);(2),,又,,,,又,,.17.解:(1)乙厂生产的产品总数为;(2)样品中优等品的频率为,乙厂生产的优等品的数量为;(3),,的分布列为012PASBSCSDSFGPASBSCSDSFE均值.18.解:(1)取AD的中点G,又PA=PD,,由题意知ΔABC是等边三角形,,又PG,BG是平面PGB的两条相交直线,,,,(2)由(1)知为二面角的平面角,在中,;在中,;在中,.19.解:(1)两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为、,由题意得或,,可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线,设方程为,则,所以轨迹L的方程为.(2)∵,仅当时,取"=",由知直线,联立并整理得解得或,此时所以最大值等于2,此时.20.解(1)法一:,得,设,则,(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,即,∴(ⅱ)当时,设,则,令,得,,知是等比数列,,又,,.法二:(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,即,∴(ⅱ)当时,,,,猜想,下面用数学归纳法证明:①当时,猜想显然成立;②假设当时,,则,所以当时,猜想成立,由①②知,,.(2)(ⅰ)当时,,故时,命题成立;(ⅱ)当时,,,,以上n个式子相加得,.故当时,命题成立;综上(ⅰ)(ⅱ)知命题成立.21.解:(1),直线AB的方程为,即,,方程的判别式,两根或,,,又,,得,.(2)由知点在抛物线L的下方,①当时,作图可知,若,则,得;若,显然有点;.②当时,点在第二象限,作图可知,若,则,且;若,显然有点;.根据曲线的对称性可知,当时,,综上所述,(*);由(1)知点M在直线EF上,方程的两根或,同理点M在直线上,方程的两根或,若,则不比、、小,,又,;又由(1)知,;,综合(*)式,得证.(3)联立,得交点,可知,过点作抛物线L的切线,设切点为,则,得,解得,又,即,,设,,,又,;,,.2011年普通高等学校招生全国统一考试【广东卷】(理科数学)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第1至第2页,第Ⅱ卷第3页至第4页.全卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题:(每小题5分,共60分)【2011广东理,1】1.设复数满足,其中为虚数单位,则().A.B.C.D.【答案】B.【解析】依题意得,故选.【2011广东理,2】2.已知集合为实数,且,为实数,且,则的元素个数为().A.0B.1C.2D.3【答案】C.【解析】题意等价于求直线与圆的交点个数,画大致图像可得答案.【2011广东理,3】3.若向量,,满足∥且⊥,则().A.4B.3C.2D.1【答案】D.【解析】因为∥且⊥,所以⊥,从而.【2011广东理,4】4.设函数和分别是实数集上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是().A.是偶函数B.是奇函数C.是偶函数D.是奇函数【答案】A.【解析】依题意,故,从而是偶函数,故选A.xyO2A【2011广东理,5】5.已知平面直角坐标系上的区域由不等式组给定.若为上的动点,点的坐标为,则的最大值为().A.B.C.D.【答案】C.【解析】目标函数即,画出可行域如图所示,代入端点比较之,易得当时取得最大值,故选C.【2011广东理,6】6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为().A.B.C.D.【答案】D.【解析】设甲队获得冠军为事件,则包含两种情况:(1)第一局胜;(2)第一局负但第二局胜;故所求概率,从而选D.【2011广东理,7】7.如图,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为().A.B.C.D.【答案】B.【解析】该几何体是以正视图所在的平行四边形为底面,高为的四棱柱,又平行四边形的底边长为,高为,所以面积,从而所求几何体的体积,故选B.【2011广东理,8】8.设是整数集的非空子集,如果,有,则称关于数的乘法是封闭的.若是的两个不相交的非空子集,,且,有;,有,则下列结论恒成立的是().A.中至少有一个关于乘法是封闭的B.中至多有一个关于乘法是封闭的C.中有且只有一个关于乘法是封闭的D.中每一个关于乘法都是封闭的【答案】A.【解析】因为,故必有或,不妨设,则令,依题意对,有,从而关于乘法是封闭的;(其实到此已经可以选A了,但为了严谨,我们往下证明可以有一个不封闭以及可以两个都封闭),取,则为所有负整数组成的集合,显然封闭,但显然是不封闭的,如;同理,若奇数,偶数,显然两者都封闭,从而选A.二、填空题:本大题共7小题.考生作答6小题.每小题5分,满分30分.(一)必做题(9~13题)【2011广东理,9】9.不等式的解集是.【答案】.【解析】解法一:原不等式或或,解得,从而原不等式的解集为.解法二(首选):的几何意义为到点的距离与到点的距离的差,画出数轴易得.解法三:不等式即,平方得,解得..【2011广东理,10】10.的展开式中的系数是(用数字作答).【答案】84.【解析】题意等价于求的展开式中的系数,,令得,故所求系数为.【2011广东理,11】11.等差数列的前9项和等于前4项和,若,则.【答案】10.【解析】由得,,故.【2011广东理,12】12.函数在处取得极小值.【答案】2.【解析】,当或时,;当时,,故当时,取得极小值.【2011广东理,12】13.某数学老师身高176cm,他爷爷,父亲,儿子的身高分别是173cm,170cm和182cm,因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是cm.【答案】185.【解析】抓住“儿子的身高与父亲的身高有关”提炼数据易得平均值,于是,,从而,,,所以线性回归方程为,当时,.第Ⅱ卷(非选择题共90分)(二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题)二、填空题:(每小题5分,共25分)【2011广东理,14】14.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为(0≤<和(t∈R),它们的交点坐标为.【答案】.【解析】对应普通方程为,,联立方程消去得,解得或(舍去),于是,,故所求交点坐标为.【2011广东理,15】15.(几何证明选讲选做题)如图4,过圆
2011年广东高考(理科)数学试题及答案
VIP会员专享最低仅需0.2元/天
VIP会员免费下载,付费最高可省50%
开通VIP
导出为PDF
图片预览模式
文字预览模式
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报
预览说明:图片预览排版和原文档一致,但图片尺寸过小时会导致预览不清晰,文字预览已重新排版并隐藏图片