2020年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标Ⅲ)一、选择题(共12小题).1.已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则A∩B中元素的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.52.若(1+i)=1﹣i,则z=( )A.1﹣i B.1+i C.﹣i D.i3.设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为( )A.0.01 B.0.1 C.1 D.104.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为( )(ln19≈3)A.60 B.63 C.66 D.695.已知sinθ+sin()=1,则sin()=( )A. B. C. D.6.在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为( )A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线7.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )A.(,0) B.(,0) C.(1,0) D.(2,0)8.点(0,﹣1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )A.1 B. C. D.29.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )A.6+4 B.4+4 C.6+2 D.4+210.设a=log32,b=log53,c=,则( )A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b11.在△ABC中,cosC═,AC=4,BC=3,则tanB=( )A. B.2 C.4 D.812.已知函数f(x)=sinx+,则( )A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象关于直线x=对称二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 .14.设双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则C的离心率为 .15.设函数f(x)=,若f′(1)=,则a= .16.已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为 .三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.设等比数列{an}满足a1+a2=4,a3﹣a1=8.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为数列{log3an}的前n项和.若Sm+Sm+1═Sm+3,求m.18.某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次,整理数据得到下表(单位:天):锻炼人次空气质量等级[0,200](200,400](400,600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率;(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”;若某天的空气质量等级为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据,完成下面的2×2列联表,并根据列联表,判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关?人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好附:K2=P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819.如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:(1)当AB=BC时,EF⊥AC;(2)点C1在平面AEF内.20.已知函数f(x)=x3﹣kx+k2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围.21.已知椭圆C:+=1(0<m<5)的离心率为,A,B分别为C的左、右顶点.(1)求C的方程;(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数且t≠1),C与坐标轴交于A,B两点.(1)求|AB|;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB的极坐标方程.[选修4-5:不等式选讲]23.设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.(1)证明:ab+bc+ca<0;(2)用max{a,b,c}表示a,b,c的最大值,证明:max{a,b,c}≥.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则A∩B中元素的个数为( )A.2 B.3 C.4 D.5【分析】求出集合A,B,由此能求出A∩B,进而能求出A∩B中元素的个数.解:∵集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15),∴A∩B={5,7,11},∴A∩B中元素的个数为3.故选:B.2.若(1+i)=1﹣i,则z=( )A.1﹣i B.1+i C.﹣i D.i【分析】把已知等式变形,再由复数代数形式的乘除运算化简,然后利用共轭复数的概念得答案.解:由(1+i)=1﹣i,得,∴z=i.故选:D.3.设一组样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,则数据10x1,10x2,…,10xn的方差为( )A.0.01 B.0.1 C.1 D.10【分析】根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长,求出新数据的方差即可.解:∵样本数据x1,x2,…,xn的方差为0.01,∴根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长,∴数据10x1,10x2,…,10xn的方差为:100×0.01=1,故选:C.4.Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=,其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为( )(ln19≈3)A.60 B.63 C.66 D.69【分析】根据所给材料的公式列出方程=0.95K,解出t即可.解:由已知可得=0.95K,解得e﹣0.23(t﹣53)=,两边取对数有﹣0.23(t﹣53)=﹣ln19,解得t≈66,故选:C.5.已知sinθ+sin()=1,则sin()=( )A. B. C. D.【分析】利用两角和差的三角公式,进行转化,利用辅助角公式进行化简即可.解:∵sinθ+sin()=1,∴sinθ+sinθ+cosθ=1,即sinθ+cosθ=1,得(cosθ+sinθ)=1,即sin()=1,得sin()=故选:B.6.在平面内,A,B是两个定点,C是动点.若=1,则点C的轨迹为( )A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线【分析】设出A、B、C的坐标,利用已知条件,转化求解C的轨迹方程,推出结果即可.解:在平面内,A,B是两个定点,C是动点,不妨设A(﹣a,0),B(a,0),设C(x,y),因为=1,所以(x+a,y)•(x﹣a,y)=1,解得x2+y2=a2+1,所以点C的轨迹为圆.故选:A.7.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为( )A.(,0) B.(,0) C.(1,0) D.(2,0)【分析】利用已知条件转化求解E、D坐标,通过kOD•kOE=﹣1,求解抛物线方程,即可得到抛物线的焦点坐标.解:将x=2代入抛物线y2=2px,可得y=±2,OD⊥OE,可得kOD•kOE=﹣1,即,解得p=1,所以抛物线方程为:y2=2x,它的焦点坐标(,0).故选:B.8.点(0,﹣1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )A.1 B. C. D.2【分析】直接代入点到直线的距离公式,结合基本不等式即可求解结论.解:因为点(0,﹣1)到直线y=k(x+1)距离d===;∵要求距离的最大值,故需k>0;可得d≤=;当k=1时等号成立;故选:B.9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是( )A.6+4 B.4+4 C.6+2 D.4+2【分析】先由三视图画出几何体的直观图,利用三视图的数据,利用三棱锥的表面积公式计算即可.解:由三视图可知几何体的直观图如图:几何体是正方体的一个角,PA=AB=AC=2,PA、AB、AC两两垂直,故PB=BC=PC=2,几何体的表面积为:3×=6+2故选:C.10.设a=log32,b=log53,c=,则( )A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解.解:∵a=log32=<=,b=log53=>=,c=,∴a<c<b.故选:A.11.在△ABC中,cosC═,AC=4,BC=3,则tanB=( )A. B.2 C.4 D.8【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanC的值,利用余弦定理可求AB的值,可得A=C,利用三角形的内角和定理可求B=π﹣2C,利用诱导公式,二倍角的正切函数公式即可求解tanB的值.解:∵cosC═,AC=4,BC=3,∴tanC==,∴AB===3,可得A=C,∴B=π﹣2C,则tanB=tan(π﹣2C)=﹣tan2C===4.故选:C.12.已知函数f(x)=sinx+,则( )A.f(x)的最小值为2 B.f(x)的图象关于y轴对称 C.f(x)的图象关于直线x=π对称 D.f(x)的图象关于直线x=对称【分析】设sinx=t,则y=f(x)=t+,t∈[﹣1,1],由双勾函数的图象和性质可得,y≥2或y≤﹣2,故可判断A;根据奇偶性定义可以判断B正误;根据对称性的定义可以判断C,D的正误.解:由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},故定义域关于原点对称;设sinx=t,则y=f(x)=t+,t∈[﹣1,1],由双勾函数的图象和性质得,y≥2或y≤﹣2,故A错误;又有f(﹣x)=sin(﹣x)+=﹣(sinx+)=﹣f(x),故f(x)是奇函数,且定义域关于原点对称,故图象关于原点中心对称;故B错误;f(π+x)=sin(π+x)+=﹣sinx﹣;f(π﹣x)=sin(π﹣x)+=sinx+,故f(π+x)≠f(π﹣x),f(x)的图象不关于直线x=π对称,C错误;又f(+x)=sin(+x)+=cosx+;f(﹣x)=sin(﹣x)+=cosx+,故f(+x)=f(﹣x),定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},f(x)的图象关于直线x=对称;D正确;故选:D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为 7 .【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=3x+2y表示直线在y轴上的截距的一半,只需求出可行域内直线在y轴上的截距最大值即可.解:先根据约束条件画出可行域,由解得A(1,2),如图,当直线z=3x+2y过点A(1,2)时,目标函数在y轴上的截距取得最大值时,此时z取得最大值,即当x=1,y=2时,zmax=3×1+2×2=7.故答案为:7.14.设双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线为y=x,则C的离心率为 .【分析】由双曲线的方程求出
2020年四川高考文科数学试卷(word版)和答案
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