2012年天津市高考数学试卷(文科)一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1.(2012•天津)i是虚数单位,复数=( ) A.1﹣i B.﹣1+i C.1+i D.﹣1﹣i2.(2012•天津)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x﹣2y的最小值为( ) A.﹣5 B.﹣4 C.﹣2 D.33.(2012•天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出s的值为( ) A.8 B.18 C.26 D.804.(2012•天津)已知a=21.2,b=()﹣0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( ) A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a5.(2012•天津)设x∈R,则“x>”是“2x2+x﹣1>0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件6.(2012•天津)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A.y=cos2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R且x≠0 C.y= D.y=x3+1,x∈R7.(2012•天津)将函数y=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是( ) A. B.1 C. D.28.(2012•天津)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足,,λ∈R.若=2,则λ=( ) A. B. C. D.2二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(2012•天津)集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为 _________ .10.(2012•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 _________ m3.11.(2012•天津)已知双曲线C1:与双曲线C:(a>0,b>0)有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0).则a= _________ ,b= _________ .12.(2012•天津)设m,n∈R,若直线l:mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为 _________ .13.(2012•天津)如图,已知AB和AC是圆的两条弦,过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D,过点C作BD的平行线与圆相交于点E,与AB相交于点F,AF=3,FB=1,EF=,则线段CD的长为 _________ .14.(2012•天津)已知函数y=的图象与函数y=kx的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是 _________ .三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(2012•天津)某地区有小学21所,中学14所,大学7所,现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目;(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析.(ⅰ)列出所有可能的抽取结果;(ⅱ)求抽取的2所学校均为小学的概率.16.(2012•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2,c=,cosA=﹣.(1)求sinC和b的值;(2)求cos(2A+)的值.17.(2012•天津)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,AD⊥PD,BC=1,PC=2,PD=CD=2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值;(2)证明:平面PDC⊥平面ABCD;(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值.18.(2012•天津)已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4﹣b4=10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;(2)记Tn=anb1+an﹣1b2+…+a1bn,n∈N*,证明:Tn﹣8=an﹣1bn+1(n∈N*,n≥2).19.(2012•天津)已知椭圆,点P()在椭圆上.(1)求椭圆的离心率;(2)设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.20.(2012•天津)已知函数f(x)=x3+x2﹣ax﹣a,x∈R,其中a>0.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在区间(﹣2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1时,设函数f(x)在区间[t,t+3]上的最大值为M(t),最小值为m(t).记g(t)=M(t)﹣m(t),求函数g(t)在区间[﹣3,﹣1]上的最小值.2012年天津市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)1.(2012•天津)i是虚数单位,复数=( ) A.1﹣i B.﹣1+i C.1+i D.﹣1﹣i考点:复数代数形式的乘除运算。专题:计算题。分析:进行复数的除法运算,分子很分母同乘以分母的共轭复数,约分化简,得到结果.解答:解:===1+i故选C.点评:本题考查复数的代数形式的乘除运算,本题解题的关键是掌握除法的运算法则,本题是一个基础题.2.(2012•天津)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x﹣2y的最小值为( ) A.﹣5 B.﹣4 C.﹣2 D.3考点:简单线性规划。专题:计算题。分析:先画出线性约束条件对应的可行域,再将目标函数赋予几何意义,数形结合即可得目标函数的最小值解答:解:画出可行域如图阴影区域:目标函数z=3x﹣2y可看做y=x﹣z,即斜率为,截距为﹣z的动直线,数形结合可知,当动直线过点A时,z最小由得A(0,2)∴目标函数z=3x﹣2y的最小值为z=3×0﹣2×2=﹣4故选B点评:本题主要考查了线性规划的思想方法和解题技巧,二元一次不等式组表示平面区域,数形结合的思想方法,属基础题3.(2012•天津)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出s的值为( ) A.8 B.18 C.26 D.80考点:数列的求和;循环结构。专题:计算题。分析:根据框图可求得S1=2,S2=8,S3=26,执行完后n已为4,故可得答案.解答:解:由程序框图可知,当n=1,S=0时,S1=0+31﹣30=2;同理可求n=2,S1=2时,S2=8;n=3,S2=8时,S3=26;执行完后n已为4,故输出的结果为26.故选C.点评:本题考查数列的求和,看懂框图循环结构的含义是关键,考查学生推理、运算的能力,属于基础题.4.(2012•天津)已知a=21.2,b=()﹣0.8,c=2log52,则a,b,c的大小关系为( ) A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a考点:不等式比较大小。专题:计算题。分析:由函数y=2x在R上是增函数可得a>b>20=1,再由c=2log52=log54<log55=1,从而得到a,b,c的大小关系解答:解:由于函数y=2x在R上是增函数,a=21.2,b=()﹣0.8=20.8,1.2>0.8>0,∴a>b>20=1.再由c=2log52=log54<log55=1,可得a>b>c,故选A.点评:本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点,属于基础题.5.(2012•天津)设x∈R,则“x>”是“2x2+x﹣1>0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断。专题:计算题。分析:求出二次不等式的解,然后利用充要条件的判断方法判断选项即可.解答:解:由2x2+x﹣1>0,可知x<﹣1或x>;所以当“x>”⇒“2x2+x﹣1>0”;但是“2x2+x﹣1>0”推不出“x>”.所以“x>”是“2x2+x﹣1>0”的充分而不必要条件.故选A.点评:本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断,二次不等式的解法,考查计算能力.6.(2012•天津)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A.y=cos2x,x∈R B.y=log2|x|,x∈R且x≠0 C.y= D.y=x3+1,x∈R考点:函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明。专题:计算题。分析:利用函数奇偶性的定义可排除C,D,再由“在区间(1,2)内是增函数”可排除A,从而可得答案.解答:解:对于A,令y=f(x)=cosx,则f(﹣x)=cos(﹣x)=cosx=f(x),为偶函数,而f(x)=cosx在[0,π]上单调递减,(1,2)⊂[0,π],故f(x)=cosx在区间(1,2)内是减函数,故排除A;对于B,令y=f(x)=log2|x|,x∈R且x≠0,同理可证f(x)为偶函数,当x∈(1,2)时,y=f(x)=log2|x|=log2x,为增函数,故B满足题意;对于C,令y=f(x)=,f(﹣x)=﹣f(x),为奇函数,故可排除C;而D,为非奇非偶函数,可排除D;故选B.点评:本题考查函数奇偶性的判断与单调性的判断,着重考查函数奇偶性与单调性的定义,考查“排除法”在解题中的作用,属于基础题.7.(2012•天津)将函数y=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,则ω的最小值是( ) A. B.1 C. D.2考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换。专题:计算题。分析:图象变换后所得图象对应的函数为y=sinω(x﹣),再由所得图象经过点可得sinω(﹣)=sin(ω)=0,故ω•=kπ,由此求得ω的最小值.解答:解:将函数y=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数为y=sinω(x﹣).再由所得图象经过点可得sinω(﹣)=sin(ω)=0,∴ω•=kπ,k∈z.故ω的最小值是2,故选D.点评:本题主要考查y=Asin(ωx+∅)的图象变换,以及由y=Asin(ωx+∅)的部分图象求函数解析式,属于中档题.8.(2012•天津)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足,,λ∈R.若=2,则λ=( ) A. B. C. D.2考点:平面向量数量积的运算。专题:计算题。分析:由题意可得=0,根据=﹣(1﹣λ)﹣λ=(λ﹣1)4﹣λ×1=2,求得λ的值.解答:解:由题意可得=0,由于=()•()=[﹣]•[﹣]=﹣(1﹣λ)﹣λ=(λ﹣1)4﹣λ×1=2,解得λ=2,故选D.点评:本题主要考查两个向量垂直的性质,两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的运算,属于中档题.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(2012•天津)集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为 ﹣3 .考点:绝对值不等式的解法。专题:计算题。分析:由|x﹣2|≤5可解得﹣3≤x≤7,从而可得答案.解答:解:∵A={x∈R||x﹣2|≤5},∴由|x﹣2|≤5得,﹣5≤x﹣2≤5,∴﹣3≤x≤7,∴集合A={x∈R||x﹣2|≤5}中的最小整数为﹣3.故答案为﹣3.点评:本题考查绝对值不等式的解法,可根据绝对值不等式|x|≤a(a>0)的意义直接得到﹣a≤x≤a,也可以两端平方,去掉绝对值符号解之,属于基础题.10.(2012•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 30 m3.考点:由三视图求面积、体积。专题:计算题。分析:通过三视图判断几何体的特征,利用三视图的数据,求出几何体的体积即可.解答:解:由三视图可知几何体是组合体,下部是长方体,底面边长为3和4
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