2014年天津高考文科数学试题及答案(Word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）是虚数单位，复数（）B.C.D.（2）设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）2B.3C.4D.5已知命题（）B.C.D.设则（）B.C.D.设是首项为，公差为的等差数列，为其前n项和，若成等比数列，则=（）A.2B.-2C.D.已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）B.C.D.如图，是圆的内接三角行，的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分；②；③；④.则所有正确结论的序号是（）A.①②B.③④C.①②③D.①②④8.已知函数在曲线与直线的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则的最小正周期为（）A.B.C.D.二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取名学生.10.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为.11.阅读右边的框图，运行相应的程序，输出的值为________.12.函数的单调递减区间是________.13.已知菱形的边长为，，点，分别在边、上，，.若，则的值为________.已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_______解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学和3名女同学，其年级情况如下表：现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）用表中字母列举出所有可能的结果设为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件发生的概率.（本小题满分13分）在中，内角所对的边分别为，已知，求的值；求的值.17、（本小题满分13分）如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.证明平面；若二面角P-AD-B为，证明：平面PBC⊥平面ABCD求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.18、（本小题满分13分）设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A，上顶点为B.已知=.求椭圆的离心率；设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M，=.求椭圆的方程.19（本小题满分14分）已知函数求的单调区间和极值；（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围20（本小题满分14分）已知和均为给定的大于1的自然数，设集合，集合，当时，用列举法表示集合A；设其中证明：若则.2014年天津高考文科数学试题逐题详解（纯Word解析版）一、选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【2014年天津卷（文01）】是虚数单位，复数A.B.C.D.【答案】A【解析】【2014年天津卷（文02）】设变量、满足约束条件，则目标函数的最小值为A.B.C.D.【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,y＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即点A(1，1)．当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin＝1×1＋2×1＝3.【2014年天津卷（文03）】已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p为（ ） A．∃x0≤0，使得（x0+1）ex0≤1 B．∃x0＞0，使得（x0+1）ex0≤1 C．∀x＞0，总有（x+1）ex≤1 D．∀x≤0，总有（x+1）ex≤1【答案】B【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知，￢p为∃x0＞0，使得（x0+1）e≤1，【2014年天津卷（文04）】设a=log2π，b=logπ，c=π﹣2，则（ ） A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．a＞c＞bD．c＞b＞a【答案】C【解析】log2π＞1，logπ＜0，0＜π﹣2＜1，即a＞1，b＜0，0＜c＜1，∴a＞c＞b【2014年天津卷（文05）】设{an}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（ ） A．2B．﹣2C．D．﹣【答案】D【解析】∵{an}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，Sn为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：【2014年天津卷（文06）】已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（ ） A．﹣=1B．﹣=1 C．﹣=1D．﹣=1【答案】A【解析】令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1【2014年天津卷（文07）】如图，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F，在上述条件下，给出下列四个结论：①BD平分∠CBF；②FB2=FD•FA；③AE•CE=BE•DE；④AF•BD=AB•BF．所有正确结论的序号是（ ） A．①②B．③④C．①②③D．①②④【答案】D【解析】∵圆周角∠DBC对应劣弧CD，圆周角∠DAC对应劣弧CD，∴∠DBC=∠DAC．∵弦切角∠FBD对应劣弧BD，圆周角∠BAD对应劣弧BD，∴∠FBD=∠BAF．∵BD是∠BAC的平分线，∴∠BAF=∠DAC．∴∠DBC=∠FBD．即BD平分∠CBF．即结论①正确．又由∠FBD=∠FAB，∠BFD=∠AFB，得△FBD～△FAB．由，FB2=FD•FA．即结论②成立．由，得AF•BD=AB•BF．即结论④成立【2014年天津卷（文08）】已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，则f（x）的最小正周期为（ ） A．B．C．πD．2π【答案】C【解析】∵已知函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+）（ω＞0），x∈R，在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为，正好等于f（x）的周期的倍，设函数f（x）的最小正周期为T，则=，∴T=π二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.【2014年天津卷（文09）】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为，则应从一年级本科生中抽取____名学生.【答案】60【解析】由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×eq\f(4,4＋5＋5＋6)＝60【2014年天津卷（文10）】一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积为_________.【答案】eq\f(20π,3)【解析】由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12×4＋eq\f(1,3)π×22×2＝eq\f(20π,3).【2014年天津卷（文11）】阅读如图的框图，运行相应的程序，输出S的值为 ．【答案】-4【解析】依题由框图知，第一次循环得到：S=﹣8，n=2；第二次循环得到：S=﹣4，n=1；退出循环，输出﹣4【2014年天津卷（文12）】函数f（x）=lgx2的单调递减区间是 ．【答案】（﹣∞，0）【解析】方法一：y=lgx2=2lg|x|，∴当x＞0时，f（x）=2lgx在（0，+∞）上是增函数；当x＜0时，f（x）=2lg（﹣x）在（﹣∞，0）上是减函数．∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）．方法二：原函数是由复合而成，∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，∴f（x）=lgx2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增 函数，∴函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（﹣∞，0）【2014年天津卷（文13）】已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=λDF、若•=1，则λ的值为 ．【答案】2【解析】∵BC=3BE，DC=λDF，∴=，=，=+=+=+，=+=+=+，∵菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，∴||=||=2，•=2×2×cos120°=﹣2，∵•=1，∴（+）•（+）=++（1+）•=1，即×4+×4﹣2（1+）=1，整理得，解得λ=2【2014年天津卷（文14）】已知函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为 ．【答案】（1，2）【解析】由y=f（x）﹣a|x|=0得f（x）=a|x|，作出函数y=f（x），y=a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a=2时，此时y=a|x|与f（x）有三个交点，当a=1时，此时y=a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y=f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【2014年天津卷（文15）】（本小题满分13分）某校夏令营有3名男同学，A、B、C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如表：一年级二年级三年级男同学ABC女同学XYZ现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛（每人被选到的可能性相同）（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果；（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，求事件M发生的概率．解：（Ⅰ）用表中字母列举出所有可能的结果有：（A，B）、（A，C）、（A，X）、（A，Y）、（A，Z）、（B，C）、（B，X）、（B，Y）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y）、（C，Z）、（X，Y）、（X，Z）、（Y，Z）共计15个结果．（Ⅱ）设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”，则事件M包含的结果有：（A，Y）、（A，Z）、（B，X）、（B，Z）、（C，X）、（C，Y），共计6个结果，故事件M发生的概率为=【2014年天津卷（文16）】（本小题满分13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a﹣c=b，sinB=sinC，（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求cos（2A﹣）的值．解：（Ⅰ）将sinB=sinC，利用正弦定理化简得：b=c，代入a﹣c=b，得：a﹣c=c，即a=2c，∴cosA===；（Ⅱ）∵cosA=，A为三角形内角，∴sinA==， ∴cos2A=2cos2A﹣1=﹣，sin2A=2sinAcosA=， 则cos（2A﹣）=cos2Acos+sin2Asin=﹣×+×=【2014年天津卷（文17）】（本小题满分13分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=，AD=2，PA=PD=，E，F分别是棱AD，PC的中点．（Ⅰ）证明EF∥平面PAB；（Ⅱ）若二面角P﹣AD﹣B为60°，（i）证明平面PBC⊥平面ABCD；（ii）求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．解：（Ⅰ）证明：连结AC，AC∩BD=H，∵底面ABCD是平行四边形，∴H为BD中点，∵E是棱AD的中点．∴在△ABD中，EH∥AB，又∵AB⊂平面PAB，EH⊄平面PAD，∴EH∥平面PAB．同理可证，FH∥平面PAB．又∵EH∩FH=H，∴平