2013年天津高考文科数学试题及答案(Word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页.第Ⅰ卷参考公式:如果事件A,B互斥,那么·棱柱的体积公式V=Sh，其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.·如果事件A,B相互独立,那么·球的体积公式其中R表示球的半径.一．选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A={x∈R||x|≤2},B={x∈R|x≤1},则 (A) (B)[1,2] (C)[－2,2] (D)[－2,1](2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=y－2x的最小值为 (A)－7 (B)－4 (C)1 (D)2(3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出n的值为 (A)7 (B)6 (C)5 (D)4(4)设,则“”是“”的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件(5)已知过点P(2,2)的直线与圆相切,且与直线垂直,则 (A) (B)1 (C)2 (D)(6)函数在区间上的最小值是 (A) (B) (C) (D)0(7)已知函数是定义在R上的偶函数,且在区间上单调递增.若实数a满足,则a的取值范围是 (A) (B) (C) (D)(8)设函数.若实数a,b满足,则 (A) (B) (C) (D)2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二．填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(9)i是虚数单位.复数(3+i)(1－2i)=.(10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上.若球的体积为,则正方体的棱长为.(11)已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.(12)在平行四边形ABCD中,AD=1,,E为CD的中点.若,则AB的长为.(13)如图,在圆内接梯形ABCD中,AB//DC,过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E.若AB=AD=5,BE=4,则弦BD的长为.(14)设a+b=2,b>0,则的最小值为.三．解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x,y,z,用综合指标S=x+y+z评价该产品的等级.若S≤4,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取10件产品作为样本,其质量指标列表如下:产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x,y,z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x,y,z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(Ⅰ)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;(Ⅱ)在该样品的一等品中,随机抽取2件产品,(⒈)用产品编号列出所有可能的结果;(⒉)设事件B为“在取出的2件产品中,每件产品的综合指标S都等于4”,求事件B发生的概率.(16)(本小题满分13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知,a=3,.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求的值.(17)(本小题满分13分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等.D,E,F分别为棱AB,BC,A1C1的中点.(Ⅰ)证明EF//平面A1CD;(Ⅱ)证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;(Ⅲ)求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.(18)(本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左,右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若,求k的值.(19)(本小题满分14分)已知首项为的等比数列的前n项和为,且成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)证明.(20)(本小题满分14分)设,已知函数(Ⅰ)证明在区间(－1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增;(Ⅱ)设曲线在点处的切线相互平行,且证明.2013年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基础运算。每小题5分。满分40分。（1）D（2）A（3）D（4）A（5）C（6）B（7）C（8）A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题5分，满分30分。（9）5-5i（10）（11）（12）（13）（14）三、解答题（15）本小题主要考查样本估计总体的方法、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识。考查数据处理能力和运用概率知识解决简单问题的能力。满分13分。（I）解：计算10件产品的综合指标S，如下表:产品编号4463454535其中S≤4的有，，，，，，共6件，故该样本的一等品率为=0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.（II）（i）解：在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.（ii）解：在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为，，，，则事件B发生的所有可能结果为，，，，，共6种。所以P(B)=.（16）本小题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的正弦公式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查基本运算求解能力.满分13分。（I）解：在中，由=，可得,又由，可得a=3c，又a=3，故c=1.由，=，可得（II）解：由=，得=，进而得==，.所以sin=sin（17）本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识。考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力。满分13分。（I）证明：如图，在三棱柱中，∥，且=，连接ED，在中，因为D,E分别为AB,BC的中点，所以DE=且DE∥AC，又因为F为的中点，可得,且∥，即四边形为平行四边形，所以∥又平面,平面，所以，∥平面。（II）证明：由于底面是正三角形，D为AB的中点，故CD⊥AB，又由于侧棱⊥底面，CD平面，所以⊥CD，又，因此CD⊥平面，而CD平面，所以平面⊥。（III）解：在平面内，过点B作BG⊥交直线于点G，连接CG.由于平面⊥平面，而直线是平面与平面的交线，故BG⊥平面。由此得为直线BC与平面所成的角。设棱长为a，可得，由∽，易得BG。在Rt中，sin.所以直线BC与平面所成角的正弦值为。（18）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的运算等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质。考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力。满分13分。（I）解：设F（），由知.过点F且与轴垂直的直线为，代入椭圆方程有，解得，于是，解得，又，从而，c=1，所以椭圆的方程为.（II）解：设点，,由F（-1，0）得直线CD的方程为，由方程组消去，整理得.求解可得，.因为A(),，所以=（）+===.由已知得=8，解得（19）本小题主要考查等差数列的概念，等比数列的概念、通项公式、前n项和公式，数列的基本性质等基础知识.考查分类讨论的思想，考查运算能力、分析问题和解决问题的能力.满分14分.（I）解：设等比数列的公比为q，因为,,成等差数列，所以+=，即=，可得2，于是.又，所以等比数列的通项公式为.（II）证明：=当n为奇数时，随的增大而减小，所以≤当n为偶数时，随的增大而减小，所以≤故对于≤（20）本小题主要考查导数的运算及其几何意义，利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想、化归思想、函数思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.满分14分。（I）证明：设函数，①=由，从而当＜＜0时，=＜3，所以函数在区间内单调递减.②=，由于，所以当0＜＜1时，＜0；当＞1时，＞0.即函数在区间内单调递减，在区间内单调递增.综合①，②及，可知函数在区间（-1,1）内单调递减，在区间内单调递增.（II）证明：由（I）知在区间内单调递减，在区间内单调递减，在区间内单调递增.因为曲线在点（i=1,2,3）处的切线相互平行，从而互不相等，且.不防设＜0＜＜，由，可得，解得，从而0＜＜＜.设，则＜＜.由＜，解得＜＜0，所以++＞，设，则，因为，所以，故++＞，即++＞.