2023-2024学年八年级数学上学期期中专题05 最短路径问题、特殊三角形的存在性问题（原卷版）

专题05最短路径问题、特殊三角形的存在性问题最短路径（将军饮马）问题【类型一】1．（2022·扬州月考）如图，中，，，，于点，是的垂直平分线，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 A．3.5 B．4 C．4.5 D．52．如图，中，，垂足为，，为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为 A． B． C． D．3．（2022·南京月考）如图，等腰直角中，，，为的中点，，若为上一个动点，则的最小值为 ．4．（2022·无锡期中）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，四边形的四个顶点都在小正方形的顶点上，点在边上，且点在小正方形的顶点上，连接．（1）在图中画出，使与关于直线对称；（2）与四边形重叠部分的面积 ；（3）在上找一点，使得的值最小．【类型二】5．如图，等边的边长为6，是高，是边上一动点，是上一动点，则的最小值为 ．6．（2022·镇江期中）如图，在中，，，，是的角平分线，若，分别是和上的动点，则的最小值是 ．【类型三】7．如图，直线上有两个动点，，点，在直线同侧，且点与点到直线的距离分别为和，且，动点，之间的距离恒为，则的最小值为 A． B． C． D．【类型四】8．如图，在锐角中，，点为边上的一定点，连接，，，分别为边和上的两动点，连接，，，则周长的最小值为 ．9．如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是 A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6【类型五】10．如图，中，，点、点为边上的点，且，点、分别为边、上的点．已知：，，则四边形的周长的最小值为 ．【类型六】11．（2022·扬州期中）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的△；（2）在上画出点，使的周长最小．（3）在上找一点，使值最大．（4）的面积是 ．特殊三角形的存在性问题【类型一：等腰三角形】12．（2022·南京期中）如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 A．5条 B．4条 C．3条 D．2条13．（2022·无锡期中）如图，已知中，，，在直线或上取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有 A．5个 B．6个 C．7个 D．8个14．（2022·盐城期中）如图，直线，交于点，，点是直线上的一个定点，点在直线上运动，且始终位于直线的上方，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则 ．15．（2022·连云港期中）如图：已知在中，，，在直线上找点，使是等腰三角形，则的度数为 ．16．（2022·南京期中）在中，，，，动点从点出发，沿着运动，速度为每秒2个单位，到达点时运动停止，设运动时间为秒，请解答下列问题：（1）求上的高；（2）当为何值时，为等腰三角形？【类型二：等边三角形】17．如图，在正方形中，，、是对角线上的两个动点，且，是正方形四边上的任意一点．若是等边三角形，则符合条件的点共有 个，此时的长为 ．18．（2022·苏州月考）在边长为9的等边三角形中，点是上一点，点是上一动点，以每秒1个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒．（1）如图1，若，，求的值；（2）如图2，若点从点向点运动，同时点以每秒2个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？【类型三：直角三角形】19．（2022·南京期中）如图，若的顶点在射线上，且，动点从点出发，以每秒1个单位沿射线运动，当运动时间是 秒时，是直角三角形．20．（2022·南通期末）如图，在中，，，点从点开始以的速度向点移动，当为直角三角形时，则运动的时间为 A． B．或 C．或 D．或【最短路径（将军饮马）问题】21．（2022·镇江期中）如图，在中，，，射线平分，，，，点为的中点，点为射线上一动点，则的最小值为 ．22．（2022·海安期末）如图，在中，，，点为射线上的动点，，且．当的值最小时，的度数为 ．23．如图，为内一定点，、分别是射线、上的点，（1）当周长最小时，在图中画出（保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，已知，求的度数．24．某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：如图1，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，中，，，是的中点，是边上的一动点，则的最小值为 ；（2）代数应用：求代数式的最小值；（3）几何拓展：如图3，中，，，若在、上各取一点、使的值最小，最小值是 ．25．（2022·扬州月考）“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小．解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长．（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是 ．（3）应用：①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点，使的周长最小，请画出草图，并求出周长的最小值；②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是 ，此时 ．26．【问题情境】八上《伴你学》第138页有这样一个问题：如图1，把一块三角板放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，你发现线段与有什么关系？试说明你的结论；【变式探究】小明在解决完这个问题后，将其命名为“一线三等角”模型；如图2，在中，点、、分别在边、、上，若，则这三个相等的角之间的联系又会使图形中出现其他的一些等角．请你写出其中的一组，并加以说理；【拓展应用】如图3，在中，，，点、分别是边、上的动点，且．以为腰向右作等腰，使得，，连接．①试判断线段、、之间的数量关系，并说明理由；②如图4，已知，点是的中点，连接、，直接写出的最小值．【特殊三角形的存在性问题】27．（2022·南京期中）如图，线段的长度为2，所在直线上方存在点，使得为等腰三角形，设的面积为．当 时，满足条件的点恰有三个．28．（2022·海安期中）如图，在中，，，点在线段上运动不与、重合），连接，作，交线段于．（1）当时， ；点从向运动时，逐渐变 （填“大”或“小”）；（2）当等于多少时，，请说明理由；（3）在点的运动过程中，的形状也在改变，判断当等于多少度时，是等腰三角形．29．（2022·淮安期中）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．（1） （用的代数式表示）（2）当点在边上运动时，出发几秒后，是等腰三角形？（3）当点在边上运动时，出发 秒后，是以或为底边的等腰三角形？30．如图，中，，现有两点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，同时停止运动．（1）点，运动几秒后，，两点重合？（2）点，运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时，运动的时间．若不存在，请说明理由．（3）点，运动几秒后，可得到直角三角形？