湖南省长沙市2011年中考数学试题及答案

2011年长沙市初中毕业学业水平考试试卷数学注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共26个小题,考试时量120分钟，满分120分。一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本题共10个小题，每小题3分，共30分）1．等于A． B． C． D．2．下列长度的三条线段，能组成三角形的是A．1、1、2 B．3、4、5 C．1、4、6 D．2、3、73．下列计算正确的是A． B．C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，点P（-1，2）向右平移3个单位长度后的坐标是（第4题）OxP·121-1y-1-22-233A．（2，2） B．（-4，2）C．（-1，5） D．（-1，-1）5．一个多边形的内角和是900，则这个多边形的边数为A．6 B．7 C．8 D．96．若是关于，的二元一次方程的解，则的值为A．-5 B．-1 C．2 D．77．如图，关于抛物线，下列说法错误的是（第7题）A．顶点坐标为（1，-2）B．对称轴是直线x=1C．开口方向向上D．当x＞1时，y随x的增大而减小8．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图，那么在原正方体的表面上，与汉字“美”相对的面上的汉字是A．我 B．爱 C．长 D．沙9．谢老师对班上某次数学模拟考试成绩进行统计，绘制了如图所示的统计图，根据图中给出的信息，这次考试成绩达到A等级的人数占总人数的A．6% B．10% C．20% D．25%10．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45，AD=2，BC=4，则梯形的面积为（第10题）A．3 B．4C．6 D．8二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）11．分解因式：=．12．反比例函数的图象经过点A（-2，3），则k的值为．13．如图，CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，AB∥CD，∠ACE=100，则∠A=． （第13题） 14．化简：=．15．在某批次的100件产品中，有3件是不合格产品，从中任意抽取一件检验，则抽到不合格产品的概率是．16．菱形的两条对角线的长分别是6cm和8cm，则菱形的周长是cm．17．已知，则的值是．18．如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC与⊙O相切于点C，若∠P=20，则∠A=．（第18题）三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）19．已知=，=20110，=，求的值．20．解不等式≤，并写出它的正整数解．四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）21．“珍惜能源从我做起，节约用电人人有责”．为了解某小区居民节约用电情况，物业公司随机抽取了今年某一天本小区10户居民的日用电量，数据如下：用户序号12345678910日用电量（度）4.44.05.05.63.44.83.45.24.04.2（1）求这组数据的极差和平均数；（2）已知去年同一天这10户居民的平均日用电量为7.8度，请你估计，这天与去年同日相比，该小区200户居民这一天共节约了多少度电？22．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40，∠APD=65．（第22题）（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）23．某工程队承包了某标段全长1755米的过江隧道施工任务，甲、乙两个班组分别从东、西两端同时掘进．已知甲组比乙组平均每天多掘进0.6米，经过5天施工，两组共掘进了45米．（1）求甲、乙两个班组平均每天各掘进多少米？（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多掘进0.2米，乙组平均每天能比原来多掘进0.3米．按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务？24．如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=4.8米，引桥水平跨度AC=8米．37（第24题） （1）求水平平台DE的长度；（2）若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比． （参考数据：取sin37=0.60，cos37=0.80，tan37=0.75）六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）25．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说是函数的零点．已知函数（m为常数）． （1）当m=0时，求该函数的零点； （2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式．26．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），点P是x轴上一动点，以线段AP为一边，在其一侧作等边三角形APQ．当点P运动到原点O处时，记Q的位置为B．..（第26题）（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值；（3）是否存在点P，使得以A、O、Q、B为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2011年长沙市初中毕业学业水平考试试卷数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案ABDABDDCCA1、A 2、B 3、D 4、A 5、B 6、D 7、D 8、C ９、C 10、A二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）11． 12．-6 13．50 14．115．0.03 16．20 17．5 18．35三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）19．∵==3，=20110=1，==， …………………………… 4分∴＝3-1+2=4.………………………………………………… 6分20．原不等式≤可化为≤，……………… 1分即5x≤10， ………………………………………………………… 3分解得x≤2. ………………………………………………………… 4分∴不等式的正整数解为1和2.……………………………………… 6分四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）21.（1）极差：5.6－3.4=2.2（度）； ……………………………………… 2分平均数：(4.4+4.0+5.0+5.6+3.4+4.8+3.4+5.2+4.0+4.2)÷10=4.4（度）.… 4分（2）这10户居民这一天平均每户节约：7.8－4.4=3.4（度）， ……… 6分由此估计整个小区居民这一天平均每户节约3.4度，所以该小区200户居民这一天共节约3.4×200=680（度）.……………… 8分22．（1）∵∠APD是△APC的外角，∴∠APD=∠CAP+∠C，……………… 1分即65=40+∠C，∴∠C=25 ……………………… 2分∴∠B=∠C=25. ……………………… 4分（2）过点O作OE⊥BD于E， ……… 5分根据垂径定理得E是BD的中点，…… 6分又∵O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线， ………………………………………………… 7分∴AD=2OE=6.………………………………………………………………… 8分五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）23．（1）设甲、乙两个班组平均每天分别掘进x米、y米，……………………… 1分依题意得…………………………………………………… 3分解得： …………………………………………………………… 5分答：甲、乙两个班组平均每天分别掘进4.8米和4.2米.………………… 6分（2）设按原来的施工进度和改进施工技术后的进度分别还需要a天、b天完成任务，则a=(1755－45)÷(4.8+4.2)=190（天）， ……………………………………… 7分b=(1755－45)÷(4.8+4.2+0.2+0.3)=180（天）， …………………………… 8分∴a－b=190－180=10（天），答：能比原来少用10天完成任务. ……………………………………… 9分24．（1）延长BE交AC于F，∵AD∥BE，∴AD∥EF，又∵DE∥AF，∴四边形ADEF是平行四边形， ……………………… 1分∴DE=AF. …………………………………………………………… 2分在Rt△BFC中，BC=4.8,∠BFC=∠A=37,∵tan∠BFC=，∴tan37==0.75， ………………………………… 3分∴CF=6.4（米）. …………………………………………………………… 4分AF=AC－CF=8－6.4=1.6（米），∴DE=1.6（米）. ………………………………………………… 5分（2）过点E作EG⊥AC于G，∵MN⊥AC，DE∥AC，∴EG=MN=3（米）， …………… 6分又∵BC⊥AC，EG⊥AC，∴EG∥BC∴△FEG∽△FBC，∴==，∴=，∴=, ………………… 8分由（1）知，四边形ADEF是平行四边形，AD=EF，∴AD:BE=5:3. …………………………………………………………… 9分六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）25．（1）当时，，…………………………………… 1分令，即，解得， ……………………… 2分∴当时，该函数的零点为和－. ……………………… 3分（2）令，即， ……………………… 4分△=(－2m)2－4[－2(m+3)]=4m2+8m+24=4(m+1)2+20 ……………………………………… 5分∵无论m为何值，4(m+1)2≥0，4(m+1)2+20＞0，即△＞0，∴无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根，即该函数总有两个零点. ………………………………………………… 6分（3）依题意有，，，由得=－，即=－，解得m＝1. …………………………………………………………… 7分因此函数解析式为y=x2－2x－8，令y=0，解得x1=－2，x2=4，∴A（－2，0），B（4，0），作点B关于直线的对称点B´，连结AB´，则AB´与直线的交点就是满足条件的M点. …………… 8分易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C(10，0)，D(0，－10)，连结CB´，则∠BCD=45，∴BC=CB´=6，∠B´CD=∠BCD=45，∴∠BCB´=90. 即B´（10，-6）. ……… 9分设直线AB´的解析式为，则，解得，.∴直线AB´的解析式为，即AM的解析式为. ……………………………………… 10分26．（1）过点B作BC⊥y轴于点C， …………………………………………… 1分∵A（0，2），△AOB为等边三角形，∴AB=OB=2，∠BAO=60，∴BC=，OC=AC=1，即B(，1). ………………… 3分（2）当点P在x轴上运动（P不与O重合）时，不失一般性，∵∠PAQ=∠OAB=60，∴∠PAO=∠QAB，……………… 4分在△APO和△AQB中，∵AP=AQ，∠PAO=∠QAB，AO=AB，∴△APO≌△AQB总成立，…………………………………………… 5分∴∠ABQ=∠AOP=90总成立，∴点P在x轴上运动（P不与O重合）时，∠ABQ为定值90. ………… 6分（3）由（2）可知，点Q总在过点B且与AB垂直的直线上