2021年广西北部湾经济区中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36分）下列各数是有理数的是( )A.π B.2 C.33 D.0如图是一个几何体的主视图，则该几何体是( )A. B. C. D.如图，小明从A入口进入博物馆参观，参观后可从B，C，D三个出口走出，他恰好从C出口走出的概率是( )A.14 B.13 C.12 D.23我国天问一号火星探测器于2021年5月15日成功着陆火星表面.经测算，地球跟火星最远距离约400000000千米，其中数据400000000科学记数法表示为( )A.4×109 B.40×107 C.4×108 D.0.4×109如图是某市一天的气温随时间变化的情况，下列说法正确的是( )A.这一天最低温度是−4℃ B.这一天12时温度最高 C.最高温比最低温高8℃ D.0时至8时气温呈下降趋势下列运算正确的是( )A.a2⋅a3=a5 B.(a2)3=a5 C.a6÷a2=a3 D.3a2−2a=a2平面直角坐标系内与点P(3,4)关于原点对称的点的坐标是( )A.(−3,4) B.(−3,−4) C.(3,−4) D.(4,3)如图，⊙O的半径OB为4，OC⊥AB于点D，∠BAC=30°，则OD的长是( )A.2 B.3 C.2 D.3一次函数y=2x+1的图象不经过( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.问：人与车各几何？译文：若3人坐一辆车，则两辆车是空的；若2人坐一辆车，则9人需要步行，问：人与车各多少？设有x辆车，人数为y，根据题意可列方程组为( )A.y=3x−2y=2x+9 B.y=3(x−2)y=2x+9 C.y=3x−2y=2x−9 D.y=3(x−2)y=2x−9如图，矩形纸片ABCD，AD：AB=2：1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交线段CD于点G，则EFAG的值为( )A.22 B.23 C.12 D.53定义一种运算：a∗b=a,a≥bb,a3的解集是( )A.x>1或x<13 B.−11或x<−1 D.x>13或x<−1二、填空题（本大题共6小题，共18分）要使分式1x−2有意义，则x的取值范围是______．分解因式：a2−4b2=______．如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为______米(结果保留根号)． 为了庆祝中国共产党成立100周年，某校举行“党在我心中”演讲比赛，评委将从演讲内容，演讲能力，演讲效果三个方面给选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%，演讲能力占40%，演讲效果占10%，计算选手的综合成绩(百分制).小婷的三项成绩依次是84，95，90，她的综合成绩是______．如图，从一块边长为2，∠A=120°的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以A为圆心的圆上(阴影部分)，且圆弧与BC，CD分别相切于点E，F，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是______．如图，已知点A(3,0)，B(1,0)，两点C(−3,9)，D(2,4)在抛物线y=x2上，向左或向右平移抛物线后，C，D的对应点分别为C′，D′.当四边形ABC′D′的周长最小时，抛物线的解析式为______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分）计算：23×(−12+1)÷(1−3)． 解分式方程：xx+1=x3x+3+1． 如图，四边形ABCD中，AB//CD，∠B=∠D，连接AC． (1)求证：△ABC≌△CDA； (2)尺规作图：过点C作AB的垂线，垂足为E(不要求写作法，保留作图痕迹)； (3)在(2)的条件下，已知四边形ABCD的面积为20，AB=5，求CE的长． 某水果公司以10元/kg的成本价新进2000箱荔枝，每箱质量5kg，在出售荔枝前，需要去掉损坏的荔枝，现随机抽取20箱，去掉损坏荔枝后称得每箱的质量(单位：kg)如下： 4.7 4.8 4.6 4.5 4.8 4.9 4.8 4.7 4.8 4.7 4.8 4.9 4.7 4.8 4.5 4.7 4.7 4.9 4.7 5.0 整理数据：质量(kg)4.54.64.74.84.95.0数量(箱)217a31分析数据：平均数众数中位数4.75bc(1)直接写出上述表格中a，b，c的值． (2)平均数、众数、中位数都能反映这组数据的集中趋势，请根据以上样本数据分析的结果，任意选择其中一个统计量，估算这2000箱荔枝共损坏了多少千克？ (3)根据(2)中的结果，求该公司销售这批荔枝每千克定为多少元才不亏本(结果保留一位小数)？ 【阅读理解】如图①，l1//l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？ 解：相等.在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F． ∴∠AEF=∠DFC=90°， ∴AE//DF． ∵l1//l2， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AE=DF． 又S△ABC=12BC⋅AE，S△DBC=12BC⋅DF． ∴S△ABC=S△DBC． 【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE=DE，AD=4，连接AE，求△ADE的面积． 解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF． 请将余下的求解步骤补充完整． 【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD=4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积． 2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C1：y=−112x2+76x+1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线C2：y=−18x2+bx+c运动． (1)当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C2的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)； (2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？ (3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围． 如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC=14，AD=8，BD=6，点E是AD上一动点(不与点A，D重合)，在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE=x，连接BE． (1)当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长； (2)设△ABE的面积为S1，矩形EFGH的面积为S2，令y=S1S2，求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)； (3)如图②，点P(a,b)是(2)中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由． 如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD=62，⊙O与▱OABC的边AB，OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE=∠OCD． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若GF=1，求cos∠AEF的值； (3)在(2)的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求ABNH的值． 答案和解析1.【答案】D 【解析】解：0是有理数． 故选：D． 根据有理数的定义，可得答案． 本题考查了实数，无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限不循环小数． 2.【答案】C 【解析】解：由该几何体的主视图可知，该几何体是． 故选：C． 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．依题意，该几何体的主视图为上下两个梯形，易判断该几何体是上下两个圆台组成． 本题考查了由三视图判断几何体，考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也考查了空间想象能力． 3.【答案】B 【解析】解：画树状图如下： 由树状图知，共有6种等可能结果，其中从C出口出来的有2种结果， 所以恰好在C出口出来的概率为26=13， 故选：B． 画树状图，共有6种等可能结果，其中从C出口出来的有2种结果，再由概率公式求解即可． 此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 4.【答案】C 【解析】解：400000000=4×108， 故选：C． 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 此题考查科学记数法的表示方法，关键是确定a的值以及n的值． 5.【答案】A 【解析】解：从图象可以看出，这一天中的最高气温是大概14时是8℃，最低气温是−4℃，从0时至4时，这天的气温在逐渐降低，从4时至8时，这天的气温在逐渐升高， 故A正确，B，D错误； 这一天中最高气温与最低气温的差为12℃， 故C错误； 故选：A． 根据该市一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案． 本题考查了函数的图象，认真观察函数的图象，从图象中得到必要的信息是解决问题的关键． 6.【答案】A 【解析】解：A.a2⋅a3=a5，故此选项符合题意； B.(a2)3=a6，故此选项不合题意； C.a6÷a2=a4，故此选项不合题意； D.3a2−2a，不是同类项，无法合并，故此选项不合题意． 故选：A． 直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法除法运算法则计算得出答案． 此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法除法运算法则，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7.【答案】B 【解析】解：点P(3,4)关于中心对称的点的坐标为(−3,−4)． 故选：B． 平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 8.【答案】C 【解析】解：连接OA， ∵OC⊥AB，∠BAC=30°， ∴∠ACO=90°−30°=60°， ∵OA=OC， ∴△AOC为等边三角形， ∵OC⊥AB， ∴OD=12OC=2， 故选：C． 连接OA，证明△AOC为等边三角形，根据等腰三角形的性质解答即可． 本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 9.【答案】D 【解析】解：∵k=2>0，图象过一三象限，b=1>0，图象过第二象限， ∴直线y=2x+1经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 根据k，b的符号确定一次函数y=x+2的图象经过的象限． 本题考查一次函数的k>0，b>0的图象性质．需注意x的系数为1，难度不大． 10.【答案】B 【解析】解：设共有y人，x辆车， 依题意得：y=3(x−2)y=2x+9． 故选：B． 设共有x人，y辆车，根据“如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 11.【答案】A 【解析】解：过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示： 由折叠A与A′对应易知：∠AOE=90°， ∵∠EAO+∠AEO=90°， ∠EAO