2009年广东省广州市中考数学试卷及答案

2009年广州市初中毕业生学业考试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上面用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名；填写考场试室号、座位号，再用2B铅笔把对应这两个号码的标号涂黑．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的清洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是（）A．B．C．D．图12．如图2，，直线分别与相交，若则（）A．40° B．50° C．130° D．140°ABCD图2120ba图33．实数在数轴上的位置如图3所示，则与的大小关系是（）A． B． C． D．无法确定4．二次函数的最小值是（）A．2 B．1 C． D．温度T(℃)时间t(时)图4262422201816141210864224681012141618202224O5．图4是广州市某一天内的气温变化图，根据图4下列说法中错误的是（）A．这一天中最高气温是24℃B．这一天中最高气温与最低气温的差为16℃C．这一天中2时至14时之间的气温在逐渐升高D．这一天中只有14时至24时之间的气温在逐渐降低6．下列运算正确的是（）A． B．C． D．7．下列函数中，自变量的取值范围是的是（）A． B． C． D．8．只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）A．正十边形 B．正八边形 C．正六边形 D．正五边形9．已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为cm2，设圆锥的母线与高的夹角为（如图5所示），则的值为（）A． B． C． D．ADGBCFE图6图510．如图6，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，若，则的周长为（）A．8 B．9.5 C．10 D．11.5第二部分非选择题（共120分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11．已知函数，当时，的值是．12．在某校举行的“艺术节”的文艺演出比赛中，九位评委给其中一个表演节目现场打出的分数如下：9.3，8.9，9.3，9.1，8.9，8.8，9.3，9.5，9.3，则这组数据的众数是．13．绝对值是6的数是．14．已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那么这个平行四边形是菱形”，写出它的逆命题：．15．如图7-①，7-②，7-③，7-④，……是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是，第个“广”字中的棋子个数是．图7-①图7-②图7-③图7-④……16．如图8是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由块长方体的积木块搭成．正视图左视图俯视图图8三、解答题（本大题共9小题，满分102分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分9分）AFCEDB图9如图9，在中，分别为边的中点．证明：四边形是平行四边形．18．（本小题满分9分）解方程：．19．（本小题满分10分）先化简，再求值：，其中．20．（本小题满分10分）如图10，在中，，．AODCB图10（1）求的度数；（2）求的周长．21．（本小题满分12分）有红、白、蓝三种颜色的小球各一个，它们除颜色外没有任何其他区别．现将3个小球放入编号为①、②、③的三个盒子里，规定每个盒子里放一个且只能放一个小球．（1）请用树状图或其它适当的形式列举出3个小球放入盒子的所有可能情况；（2）求红球恰好被放入②号盒子的概率．22．（本小题满分12分）如图11，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段的两个端点都在格点上，直线经过坐标原点，且点的坐标是（1，2）．11yABMOxN图11（1）写出点的坐标；（2）求直线所对应的函数关系式；（3）利用尺规作出线段关于直线的对称图形（保留作图痕迹，不写作法）．23．（本小题满分12分）为了拉动内需，广东启动“家电下乡”活动．某家电公司销售给农户的I型冰箱和II型冰箱在启动活动前一个月共售出960台，启动活动后的第一个月销售给农户的I型冰箱和II型冰箱的销售量分别比启动活动前一个月增长30%、25%，这两种型号的冰箱共售出1228台．（1）在启动活动前一个月，销售给农户的I型冰箱和II型冰箱分别为多少台？（2）若I型冰箱每台价格是2298元，II型冰箱每台价格是1999元．根据“家电下乡”的有关政策，政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴，问启动活动后的第一个月销售给农户的1228台I型和II型冰箱，政府共补贴了多少元？（结果保留2个有效数字）24．（本小题满分14分）如图12，边长为1的正方形被两条与边平行的线段分割成四个小矩形，与交于点．（1）若，证明：；（2）若，证明：；AEDHGPBFC图12（3）若的周长为1，求矩形的面积．25．（本小题满分14分）如图13，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为．（1）求该二次函数的关系式；（2）过轴上的一点作轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求的取值范围；图13yxBACO（3）在该二次函数的图象上是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．2009年广州市初中毕业生学业考试数学试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题3分，满分30分．题号12345678910答案ACCADBDCBA二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题3分，满分18分．11．212．9.313．14．如果一个平行四边形是菱形，那么这个平行四边形的两条对角线互相垂直15．15；16．4三、解答题：本大题考查基础知识和基本运算，及数学能力，满分102分．17．本小题主要考查平行四边形的判定、中位线等基础知识，考查几何推理能力和空间观念．满分9分．证法1：∵分别是边的中点，∴．同理．∴四边形是平行四边形．证法2：∵分别是边的中点，∴．∵E为的中点，∴．∴．∴四边形是平行四边形．18．本小题主要考查分式方程等基本运算技能，考查基本的代数计算能力．满分9分．解：由原方程得，即，即，∴．检验：当时，∴是原方程的根．19．本小题主要考查整式的运算、平方差公式等基础知识，考查基本的代数计算能力．满分10分．解：．将代入，得 ．20．本小题主要考查圆、等边三角形等基础知识，考查计算能力、推理能力和空间观念．满分10分．解：（1）∵，∴．（2）∵，∴．∴是等边三角形．OADCBEE20题（2）图1求的半径给出以下四种方法：方法1：连结并延长交于点（如图1）．∵是等边三角形，∴圆心既是的外心又是重心，还是垂心．在中，∴．∴，即O的半径为2cm．方法2：连结，作交于点（如图2）∵，，∴．OADCBEE20题（2）图2E∴．∵，∴中，．在中，，∴即．∴，即的半径为2cm．方法3：连结，作交于点（如图2）．∵O是等边三角形的外心，也是的角平分线的交点，∴．在中，即．∴．∴，即O的半径为2cm．方法4：连结，作交于点（如图2）．∵O是等边三角形的外心，也是的角平分线的交点，∴．在中，设，则，∵，∴．解得．∴，即O的半径为2cm．∴O的周长为，即．21．本小题主要考查概率等基本的概念，考查．满分12分．（1）解法1：可画树状图如下：蓝白白蓝红蓝红红蓝白白红红白蓝①号盒子号合②号盒子号合③号盒子号合共6种情况．解法2：3个小球分别放入编号为①、②、③的三个盒子的所有可能情况为：红白蓝、红蓝白、白红蓝、白蓝红、蓝红白、蓝白红共6种．（2）解：从（1）可知，红球恰好放入2号盒子的可能结果有白红蓝、蓝红白共2种，所以红球恰好放入2号盒子的概率．22．本小题主要考查图形的坐标、轴对称图形、尺规作图、一次函数等基础知识，考查用待定系数法求函数解析式的基本方法，以及从平面直角坐标系中读图获取有效信息的能力，满分12分．解：（1），；（2）解法1：∵直线经过坐标原点，∴设所求函数的关系式是，又点的坐标为（1，2），∴．∴直线所对应的函数关系式是．解法2：设所求函数的关系式是则由题意得：解这个方程组，得∴直线所对应的函数关系式是．（3）利用直尺和圆规，作线段关于直线的对称图形，如图所示．23．本小题主要考查建立二元一次方程组模型解决简单实际问题的能力，考查基本的代数计算推理能力．满分12分．解：（1）设启动活动前的一个月销售给农户的I型冰箱和II型冰箱分别为台．根据题意得解得∴启动活动前的一个月销售给农户的I型冰箱和II型冰箱分别为560台和400台．（2）I型冰箱政府补贴金额：元，II型冰箱政府补贴金额：元．∴启动活动后第一个月两种型号的冰箱政府一共补贴金额：元．答：启动活动后第一个月两种型号的冰箱政府一共约补贴农户元．24．本小题主要考查正方形、矩形、三角形全等等基础知识,考查计算能力、推理能力和空间观念．满分14分．（1）证明1：在与中，∵，∴．∴．证明2：在中，．在中，∵，∴．（2）证明1：将绕点顺时针旋转到的位置．在与中，∵，∴．EDHCFBMGAP24题（2）图∴．∵，∴．证明2：延长至点，使，连结．在与中，∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴．（3）设，则，．（）在中，．∵的周长为1，∴．即．即．整理得．（*）求矩形的面积给出以下两种方法：方法1：由（*）得．①∴矩形的面积②将①代入②得．∴矩形的面积是．方法2：由（*）得，∴矩形的面积∴矩形的面积是．25.本小题主要考查二次函数、解直角三角形等基础知识，考查运算能力、推理能力和空间观念．满分14分．解：（1）设点，，其中．∵抛物线过点，∴．∴．∴．∵抛物线与轴交于两点，∴是方程的两个实根．求的值给出以下两种方法：方法1：由韦达定理得：．∵的面积为，∴，即．∴．∴．∵，∴．∴．解得．∵，∴．∴所求二次函数的关系式为．方法2：由求根公式得，．．∵的面积为，∴，即．∴．∴．解得．∵，∴．∴所求二次函数的关系式为．（2）令，解得．∴，．在中，，在中，，25题（2）图yxBACO∵，∴．∴．∴是直角三角形．∴的外接圆的圆心是斜边的中点．∴的外接圆的半径．∵垂线与的外接圆有公共点，∴．（3）假设在二次函数的图象上存在点，使得四边形是直角梯形．①若，设点的坐标为，，25题（3）图1yxBACOED过作轴，垂足为，如图1所示．求点的坐标给出以下两种方法：方法1：在中，，在中，，∵，∴．∴．．解得或．∵，∴，此时点的坐标为．25题（3）图2yxBACODF而，因此当时在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形．方法2：在与中，，∴．∴．∴．以下同方法1．②若，设点的坐标为，，过作轴，垂足为，如图2所示．在中，，在中，，∵，∴．∴．．解得或．∵，∴，此时点的坐标为．此时，因此当时，在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形．综上所述，在抛物线上存在点，使得四边形是直角梯形，并且点的坐标为或．