2019年中考数学真题分类训练——专题二十一:规律探索题一、选择题1.(2019菏泽)在平面直角坐标系中,一个智能机器人接到的指令是:从原点O出发,按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动,每次移动1个单位长度,其移动路线如图所示,第一次移动到点A1,第二次移动到点A2,…,第n次移动到点An,则点A2019的坐标是A.(1010,0) B.(1010,1) C.(1009,0) D.(1009,1)【答案】C2.(2019张家界)如图,在平面直角坐标系中,将边长为1的正方形OABC绕点O顺时针旋转45°后得到正方形OA1B1C1,依此方式,绕点O连续旋转2019次得到正方形OA2019B2019C2019,那么点A2019的坐标是A.(,-) B.(1,0) C.(-,-) D.(0,-1)【答案】A3.(2019武汉)观察等式:2+22=23-2;2+22+23=24-2;2+22+23+24=25-2,…,已知按一定规律排列的一组数:250、251、252、…、299、2100.若250=a,用含a的式子表示这组数的和是A.2a2-2a B.2a2-2a-2 C.2a2-a D.2a2+a【答案】C4.(2019枣庄)如图,小正方形是按一定规律摆放的,下面四个选项中的图片,适合填补图中空白处的是A. B. C. D.【答案】D5.(2019达州)a是不为1的有理数,我们把称为a的差倒数,如2的差倒数为=-1,-1的差倒数,已知a1=5,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数……,依此类推,a2019的值是A.5 B.- C. D.【答案】D6.(2019济宁)已知有理数a≠1,我们把称为a的差倒数,如:2的差倒数是=-1,-1的差倒数是.如果a1=-2,a2是a1的差倒数,a3是a2的差倒数,a4是a3的差倒数……依此类推,那么a1+a2+…+a100的值是A.-7.5 B.7.5 C.5.5 D.-5.5【答案】A7.(2019株洲)从-1,1,2,4四个数中任取两个不同的数(记作ak,bk)构成一个数组MK={ak,bk}(其中k=1,2…S,且将{ak,bk}与{bk,ak}视为同一个数组),若满足:对于任意的Mi={ai,bi}和Mj={aj,bj}(i≠j,1≤i≤S,1≤j≤S)都有ai+bi≠aj+bj,则S的最大值A.10 B.6 C.5 D.4【答案】C8.(2019十堰)一列数按某规律排列如下:,…,若第n个数为,则n=A.50 B.60 C.62 D.71【答案】B9.(2019常德)观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,…,根据其中的规律可得70+71+72+…+72019的结果的个位数字是A.0 B.1 C.7 D.8【答案】A10.(2019贺州)计算的结果是A. B. C. D.【答案】B二、填空题11.(2019天水)观察下列图中所示的一系列图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第2019个图形中共有__________个〇.【答案】605812.(2019衢州)如图,由两个长为2,宽为1的长方形组成“7”字图形(1)将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中,记为“7”字图形ABCDEF,其中顶点A位于x轴上,顶点B,D位于y轴上,O为坐标原点,则的值为__________.(2)在(1)的基础上,继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1,摆放第三个“7”字图形得顶点F2,依此类推,…,摆放第n个“7”字图形得顶点Fn-1,…,则顶点F2019的坐标为__________.【答案】(1);(2)13.(2019连云港)如图,将一等边三角形的三条边各8等分,按顺时针方向(图中箭头方向)标注各等分点的序号0、1、2、3、4、5、6、7、8,将不同边上的序号和为8的两点依次连接起来,这样就建立了“三角形”坐标系.在建立的“三角形”坐标系内,每一点的坐标用过这一点且平行(或重合)于原三角形三条边的直线与三边交点的序号来表示(水平方向开始,按顺时针方向),如点A的坐标可表示为(1,2,5),点B的坐标可表示为(4,1,3),按此方法,则点C的坐标可表示为__________.【答案】(2,4,2)14.(2019广安)如图,在平面直角坐标系中,点A1的坐标为(1,0),以OA1为直角边作Rt△OA1A2,并使∠A1OA2=60°,再以OA2为直角边作Rt△OA2A3,并使∠A2OA3=60°,再以OA3为直角边作Rt△OA3A4,并使∠A3OA4=60°……按此规律进行下去,则点A2019的坐标为__________.【答案】(-22017,22017)15.(2019怀化)探索与发现:下面是用分数(数字表示面积)砌成的“分数墙”,则整面“分数墙”的总面积是__________.【答案】n-116.(2019滨州)观察下列一组数:a1=,a2=,a3=,a4=,a5=,…,它们是按一定规律排列的,请利用其中规律,写出第n个数an=__________.(用含n的式子表示)【答案】17.(2019台州)砸“金蛋”游戏:把210个“金蛋”连续编号为1,2,3,…,210,接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎;然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1,2,3,…,接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作,直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止.操作过程中砸碎编号是“66”的“金蛋”共__________个.【答案】318.(2019黄石)将被3整除余数为1的正整数,按照下列规律排成一个三角形数阵,则第20行第19个数是__________.【答案】62519.(2019安顺)如图,将从1开始的自然数按下规律排列,例如位于第3行、第4列的数是12,则位于第45行、第7列的数是__________.【答案】201920.(2019咸宁)有一列数,按一定规律排列成1,-2,4,-8,16,-32,…,其中某三个相邻数的积是412,则这三个数的和是__________.【答案】-38421.(2019海南)有2019个数排成一行,对于任意相邻的三个数,都有中间的数等于前后两数的和.如果第一个数是0,第二个数是1,那么前6个数的和是__________,这2019个数的和是__________.【答案】0;222.(2019武威)已知一列数a,b,a+b,a+2b,2a+3b,3a+5b,…,按照这个规律写下去,第9个数是__________.【答案】13a+21b23.(2019甘肃)如图,每一图中有若干个大小不同的菱形,第1幅图中有1个菱形,第2幅图中有3个菱形,第3幅图中有5个菱形,如果第n幅图中有2019个菱形,则n=__________.【答案】101024.a1,a2,a3,a4,a5,a6,…,是一列数,已知第1个数a1=4,第5个数a5=5,且任意三个相邻的数之和为15,则第2019个数a2019的值是__________.【答案】6三、解答题25.(2019自贡)阅读下列材料:小明为了计算1+2+22+…+22017+22018的值,采用以下方法:设S=1+2+22+…+22017+22018①,则2S=2+22+…+22018+22019②,②-①得2S-S=S=22019-1,∴S=1+2+22+…+22017+22018=22019-1.请仿照小明的方法解决以下问题:(1)1+2+22+…+29=__________;(2)3+32+…+310=__________;(3)求1+a+a2+…+an的和(a>0,n是正整数,请写出计算过程).解:(1)设S=1+2+22+…+29①,则2S=2+22+…+210②,②-①得2S-S=S=210-1,∴S=1+2+22+…+29=210-1,故答案为:210-1.(2)设S=3+3+32+33+34+…+310①,则3S=32+33+34+35+…+311②,②-①得2S=311-1,所以S=,即3+32+33+34+…+310=,故答案为:.(3)设S=1+a+a2+a3+a4+…+an①,则aS=a+a2+a3+a4+…+an+an+1②,②-①得:(a-1)S=an+1-1,a=1时,不能直接除以a-1,此时原式等于n+1,a不等于1时,a-1才能做分母,所以S=,即1+a+a2+a3+a4+…+an=.26.(2019安徽)观察以下等式:第1个等式:,第2个等式:,第3个等式:,第4个等式:,第5个等式:,……按照以上规律,解决下列问题:(1)写出第6个等式:__________;(2)写出你猜想的第n个等式:__________(用含n的等式表示),并证明.解:(1)第6个等式为:,故答案为:.(2),证明:∵右边==左边.∴等式成立,故答案为:.27.(2019张家界)阅读下面的材料:按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.排在第一位的数称为第一项,记为a1,排在第二位的数称为第二项,记为a2,依此类推,排在第n位的数称为第n项,记为an.所以,数列的一般形式可以写成:a1,a2,a3,…,an,….一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用d表示.如:数列1,3,5,7,…为等差数列,其中a1=1,a2=3,公差为d=2.根据以上材料,解答下列问题:(1)等差数列5,10,15,…的公差d为5,第5项是__________.(2)如果一个数列a1,a2,a3,…,an,…,是等差数列,且公差为d,那么根据定义可得到:a2-a1=d,a3-a2=d,a4-a3=d,…,an-an-1=d,….所以a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,……由此,请你填空完成等差数列的通项公式:an=a1+__________d.(3)-4041是不是等差数列-5,-7,-9…的项?如果是,是第几项?解:(1)根据题意得,d=10-5=5.∵a3=15,a4=a3+d=15+5=20,a5=a4+d=20+5=25,故答案为:5;25.(2)∵a2=a1+d,a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d,a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d,……∴an=a1+(n-1)d,故答案为:n-1.(3)根据题意得,等差数列-5,-7,-9…的项的通项公式为:an=-5-2(n-1),则-5-2(n-1)=-4041,解之得:n=2019,∴-4041是等差数列-5,-7,-9,…的项,它是此数列的第2019项.
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