2023年数学九年级上册北师大版专题02 特殊四边形的旋转、折叠、最值问题(原卷版）

专题02特殊四边形的旋转、折叠、最值问题菱形的旋转问题1．（2020秋·福建南平·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，O是菱形对角线的中点，轴且，，将菱形绕点O旋转，使点D落在x轴上，则旋转后点C的对应点的坐标是（    ）  A． B． C． D．或2．（2022秋·北京西城·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形中，已知，，对角线交点D，将菱形绕点D顺时针方向旋转，每次旋转60°，则旋转2次后，点D的坐标是，旋转2022次后，点D的坐标是．3．（2022秋·全国·九年级期中）如图，平行四边形ABCD中，．对角线相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于点E，F．(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；(2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；(3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明．菱形的折叠问题4．（2022秋·广东深圳·九年级校考期中）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG＝2，AD＝6，则BE的长为（ ）A． B． C．3 D．3.55．（2022秋·四川达州·九年级校考期中）如图，在边长为+1的菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在AB、AD上，沿EF折叠菱形，使点A落在BC边上的点G处，且EG⊥BD于点M，则EG的长为6．（2020秋·山东枣庄·九年级校考期中）如图，将平行四边形沿折叠，恰好使点与点重合，点落在点处，连接、．求证：．判断四边形的形状，说明理由．菱形的最值问题7．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期中）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为（    ）A． B． C．3 D．8．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期中）如图，在菱形中，对角线，的长分别为，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为．  9．（2022秋·江西九江·九年级统考期中）如图，△ABC中，AB＝BC，过A点作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D，连接CD．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)过点D作AC的平行线交直线BC于点E，连接DE，点P是线段BD上的动点，若，请直接写出PC+PE的最小值．矩形的旋转问题10．（2022秋·湖北·九年级统考期中）已知大小一样的矩形和矩形如图1摆放，，现在把矩形绕点A旋转，如图2，交于点M，交于点N，若，则的值为（   ）．A． B． C． D．11．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，其中点与点，点与点分别是对应点，连接．  (1)如图，若点，，第一次在同一直线上，与交于点，连接．①求证：平分．②取的中点，连接，求证：．③若，，求的长．(2)若点，，第二次在同一直线上，，，直接写出点到的距离．矩形的折叠问题12．（2022秋·陕西·九年级陕西师大附中校考期中）如图，点是矩形中边上一点，，将沿折叠，点恰好落在边处，满足，则的长为（    ）A． B．4 C． D．13．（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）如图，在矩形纸片中，，，M是上的点，且，将矩形纸片沿过点M的直线折叠，使点D落在上的点P处，点C落在点处，折痕为，当与线段交于点H时，则线段的长是（   ）A．3 B． C．4 D．14．（2022秋·四川成都·九年级统考期中）如图，矩形，，将矩形沿对角线折叠，点落在点处，连接，若三角形为等腰三角形，则．15．（2022秋·四川南充·九年级统考期中）如图，将一张矩形的纸片沿向上折叠，顶点C落在点E处，交于F．(1)求证：是等腰三角形；(2)过D作交于G，连接，交于O．①判断四边形的形状；②若，，求的长．矩形的最值问题16．（2022秋·广东梅州·九年级统考期中）如图，在矩形中，点E是对角线上一点，有且，点P是上一动点，则点P到边，的距离之和的值（    ）A．有最大值a B．有最小值 C．是定值 D．是定值17．（2021秋·广东茂名·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．(1)求证：四边形AGPH是矩形；(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．18．（2021秋·浙江台州·九年级校联考期中）如图1，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转，得到矩形．（1）当点落在上时，则线段的长度等于；（2）如图2，当点落在上时，则的面积为；（3）如图3，连接，判断与的位置关系并说明理由；（4）在旋转过程中，求出的最大值．正方形的旋转问题19．（2021秋·陕西西安·九年级西安市曲江第一中学校考期中）如图，在正方形ABCD中，，点M在CD边上，且，与关于所在的直线AM对称，将按顺时针方向绕点A旋转90°得到，连接EF，则线段EF的长为（    ）A． B． C． D．20．（2022秋·天津·九年级校考期中）如图，点E为正方形ABCD外一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕A点逆时针方向旋转90°得到△ADF，DF的延长线交BE于H点，若BH＝7，BC＝13，则DH＝．21．（2022秋·贵州贵阳·九年级统考期中）如图，点E是正方形内一动点，满足.(1)[动手实践]将图中的绕点A逆时针旋转得到，点B与点D重合，点E旋转后的对应点是点F；(2)[问题探究]在补全的图中，分别延长和交于点G，判断四边形的形状；(3)[拓展延伸]猜想线段之间的数量关系，并说明理由．正方形的折叠问题22．（2021春·福建泉州·九年级校考期中）如图，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，则的角度是（    ）A． B． C． D．23．（2021秋·河南郑州·九年级统考期中）如图，正方形ABCD中，点E为BC边的中点，点P为边AB上一个动点，连接PE，以PE为对称轴折叠得到，点B的对应点为点F，若，当射线EF经过正方形ABCD边的中点（不包括点E）时，BP的长为．24．（2021春·湖北宜昌·九年级统考期中）如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点（不与点A、D重合），将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于H，连接BP．（1）求证：∠APB＝∠BPH；（2）若P为AD中点，求四边形EFGP的面积；（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？写出你的结论并证明．正方形的最值问题25．（2022秋·福建漳州·九年级校考期中）如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（    ）A．6 B．11 C． D．26．（2022秋·广东中山·九年级校联考期中）如图，已知，B为上一点，于A，四边形为正方形，P为射线上一动点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得，连接，若，则的最小值为．27．（2022秋·福建漳州·九年级统考期中）如图，，四边形ABCD是正方形，且点A、D始终分别在射线OM和ON上．(1)如图1，若，点A、D在OM，ON上滑动过程中，OB何时取最大值，并求出此最大值．(2)如图2，点P在AB上，且，DP交AC于点F，延长射线BF交AD，ON分别于点G、Q．①求证：．②若，求的周长．28．（2022秋·天津和平·九年级统考期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△A′B′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为(    )A．2－ B． C． D．129．（2022秋·江苏南通·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2022次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（ ）A． B． C． D．30．（2022春·浙江湖州·九年级校联考期中）如图，在矩形ABCD中，AB=7cm，BC=2cm，点N在边CD上，CN=1cm，点M是矩形ABCD的边AB上一动点，现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B′，C′上．边MB′与边CD交于点E，当点M从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长为cm．31．（2022秋·陕西西安·九年级西安市铁一中学校考期中）如图，菱形的边长为4，，点E、F分别是边上的动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值是．32．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）阅读下面材料：子薇遇到这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别为、边上的点，，连接，求证：．子薇是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段集中到同一条线段上．他先后尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．他的方法是将绕点顺时针旋转得到（如图2），此时即是．请回答：在图2中，的度数是．参考子薇得到的结论和思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在直角梯形ABCD中，，，，E是CD上一点，若，，求BE的长度．（2）如图4，已知线段，线段绕点旋转，且，连接，以为边作正方形，连接．求线段的最大值．33．（2022秋·福建三明·九年级统考期中）已知矩形中，，是边上一点，连接，将沿着直线折叠得到．(1)若；①如图1，若点在边上，的长为 ；②、、三点在同一直线上时，求的长；如图3，当点是的中点时，此时点落在矩形内部，延长交于点，若点是的三等分点，求的长．34．（2021秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考期中）菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作BE⊥AB交AC于点E．已知点F是AB边上一点，且BF＝BE，过点F作PF⊥AB交BD延长线于点P，交AD于点Q．(1)如图（1），若F是AB的中点，且BE＝2，求PD的长；(2)如图（2），求证：AQ＝BE+PQ；(3)如图（3），在菱形ABCD中，已知∠BAD＝60°，AB＝6．点P是对角线上的动点，过点B作BM垂直直线AP于点M．点N是CD边上的动点，请直接写出+MN的最小值．