高考数学专题23 彩票问题（原卷版）

专题23彩票问题例1．某种彩票的投注号码由7位数字组成，每位数字均为这10个数码中的任意1个．由摇号得出1个7位数（首位可为为中奖号，若某张彩票的7位数与中奖号相同即得一等奖，若有6位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得二等奖，若有5位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得三等奖，各奖不可兼得．某人买了1张彩票且假设这期彩票中奖号码为1234567．（1）求其获得二等奖的概率；（2）求其获得三等奖及以上奖的概率．例2．某彩票的号码形如“”（其中，1，2，3，4，5，6，7，8，，，2，3，4，．现从这十个数字中每次取出一个数字，放回后再取下一个数字，取5次，依次按序排成一行成为一等奖号码．若彩票上的号码与一等奖号码恰有4个连续的数字相同（包括数字顺序相同）则为二等奖号码，恰有3个连续的数字相同（包括数字顺序相同）则为三等奖号码，其它为不中奖号码．（1）求某人买一张彩票中一等奖的概率；（2）若一等奖奖金1000元，二等奖奖金500元，三等奖奖金100元，求某人买一张彩票获得奖金数（元的概率分布及其数学期望；（3）某人买了3张彩票，恰有1张获奖的概率是恰有2张获奖的概率的多少倍？例3．某市发行一种电脑彩票，从1到35这35个数中任选7个不同的数作为一注，开奖号码为从35个数中抽出7个不同的数，若购买的一注号码与这7个数字完全相同，即中一等奖；若购买的一注号码中有且仅有6个数与这7个数中的6个数字相同，即中二等奖；若购买的一注号码中有且仅有5个数与这7个数中的5个数字相同，即中三等奖．（1）随机购买一注彩票中一等奖的概率是多少？随机购买一注彩票能中奖的概率是多少？（结果可以用含组合数的分数表示）（2）从问题（1）得到启发，试判断组合数与的大小关系，并从组合的意义角度加以解释．例4．某福彩中心准备发行一种面值为2元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖概率为0.2；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，10元和100元三种；③顾客购买一张彩票，获得10元奖金的概率为0.08，获得100元奖金的概率为．（1）若某顾客每天都买一张该类型的福利彩票，求其在第3天才中奖的概率；（2）福彩中心为了能够筹得资金资助福利事业持续发展，应如何设定的取值．例5．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖率为；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为，获得50元奖金的概率为．（1）假设某顾客一次性花50元购买10张彩票，求该顾客中奖的概率；（2）设福彩中心卖出一张彩票获得的资金为元，求的概率分布（用表示）；（3）为了能够筹得资金资助福利事业，求的取值范围．例6．某种福利彩票每期的开奖方式是，从1，2，，20的基本号码中由电脑随机选出4个不同的幸运号码（不计顺序），凡购买彩票者，可自由选择1个，2个，3个或4个不同的基本号码组合成一注彩票，若彩票上所选的基本号码都为幸运号码就中奖．根据所选基本号码（幸运号码）的个数，中奖等级分为基本号码数（幸运号码数）1234中奖等级四等奖三等奖二等奖一等奖（1）求购买一注彩票获得三等奖或者四等奖的概率；（2）设随机变量表示一注彩票的获奖等级，取值0，1，2，3，表示未获奖），求随机变量的分布列．例7．一种填数字彩票2元一张，购买者在卡上依次填上中的两个数字（允许重复）．中奖规则如下：如果购买者所填的两个数字依次与开奖的两个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元；其他情况均无奖金．（Ⅰ）小明和小辉在没有商量的情况下各买一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率；（Ⅱ）设“购买一张这种彩票中一等奖”为事件，“购买一张这种彩票中二等奖”为事件，请指出事件的含义，并求事件发生的概率；（Ⅲ）设购买一张这种彩票的收益为随机变量，求的数学期望．例8．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：①该福利彩票中奖率为；②每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；③顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为，获得50元奖金的概率为．（1）假设某顾客一次性花15元购买三张彩票，求其至少有两张彩票中奖的概率；（2）为了能够筹得资金资助福利事业，求的取值范围．例9．某人酷爱买彩票，一次他购买了1000注的彩票，共有50注中奖，于是他回到家对彩票的号码进行了分析，分析后又去买了1500注的彩票，有75注中奖．请分析他对号码的研究是否对中奖产生了大的影响．例10．某种彩票是由7位数字组成，每位数字均为这10个数码中的任一个．由摇号得出一个7位数（首位可为为中奖号，如果某张彩票的7位数与中奖号码相同即得一等奖；若有6位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得二等奖；若有5位相连数字与中奖号的相应数位上的数字相同即得三等奖；各奖不可兼得．某人一次买了10张不同号码的彩票．（1）求其获得一等奖的概率；（2）求其获得三等奖及以上奖的概率．例11．售价为2元的某种彩票的中奖概率如下：中奖金额元0248中奖概率0.70.20.080.02（Ⅰ）某人花6元买三张该种彩票，恰好获利2元的概率为多少？（Ⅱ）某人花4元买两张该种彩票，记获利为元，求的分布列与数学期望．例12．一种填数字彩票2元一张，购买者在彩票上依次填上中的两个数字（允许重复），中奖规则如下：如果购买者所填的两个数字依次与开奖的四个有序数字分别对应相等，则中一等奖10元；如果购买者所填的两个数字中，只有第二个数字与开奖的第二个数字相等，则中二等奖2元，其他情况均不中奖．（1）小明和小辉在没有商量的情况下各买了一张这种彩票，求他俩都中一等奖的概率；（2）求购买一张这种彩票能够中奖的概率；