高考数学专题17 道路通行问题（原卷版）

专题17道路通行问题例1．某人某天的工作是，驾车从地出发，到，两地办事，最后返回地，，三地之间各路段的行驶时间及当天降水概率如表：路段正常行驶所需时间（小时）上午降水概率下午降水概率20.30.620.20.730.30.9若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时．现有如下两个方案：方案甲：上午从地出发到地办事然后到达地，下午在地办事后返回地；方案乙：上午从地出发到地办事，下午从地出发到达地，办事后返回地（1）若此人8点从地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时，且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回地的概率；（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回地？例2．市民李先生居住在甲地，工作在乙地，他的小孩就读的小学在丙地，三地之间的道路情况如图所示．假设工作日不走其它道路，只在图示的道路中往返，每次在路口选择道路是随机的．同一条道路去程与回程是否堵车相互独立．假设李先生早上需要先开车送小孩去丙地小学，再返回经甲地赶去乙地上班．假设道路A，B，D上下班时间往返出现拥堵的概率都是，道路C，E上下班时间往返出现拥堵的概率都是，只要遇到拥堵上学和上班的都会迟到．(1)求李先生的小孩按时到校的概率；(2)李先生是否有七成把握能够按时上班？(3)设X表示李先生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数，求X的均值．例3．2018年11月6日-11日，第十二届中国国际航空航天博览会在珠海举行。在航展期间，从珠海市区开车前往航展地有甲、乙两条路线可走，已知每辆车走路线甲堵车的概率为14，走路线乙堵车的概率为p，若现在有A，B两辆汽车走路线甲，有一辆汽车C走路线乙，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响。（1）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求p的值。（2）在（1）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数X的分布列和数学期望。例4．某校要用三辆汽车从新校区把教职工接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为，不堵车的概率为；汽车走公路②堵车的概率为，不堵车的概率为.若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响.（1）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；（2）在（1）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数的分布列和数学期望.例5．某果园要用三辆汽车将一批水果从所在城市E运至销售城市F，已知从城市E到城市F有两条公路.统计表明：汽车走公路Ⅰ堵车的概率为，走公路Ⅱ堵车的概率为，若甲、乙两辆汽车走公路Ⅰ，第三辆汽车丙由于其他原因走公路Ⅱ运送水果，且三辆汽车是否堵车相互之间没有影响.（Ⅰ）求甲、乙两辆汽车中恰有一辆堵车的概率；（Ⅱ）求三辆汽车中至少有两辆堵车的概率.例6．张老师居住在某城镇的A处，准备开车到学校B处上班。若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图。（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为）。（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望。例7．自驾游从地到地有甲乙两条线路，甲线路是，乙线是，其中段、段、段都是易堵车路段.假设这三条路段堵车与否相互独立.这三条路段的堵车概率及平均堵车时间如表1所示.经调查发现，堵车概率在上变化，在上变化.在不堵车的情况下.走线路甲需汽油费500元，走线路乙需汽油费545元.而每堵车1小时，需多花汽油费20元.路政局为了估计段平均堵车时间，调查了100名走甲线路的司机，得到表2数据.CD段EF段GH段堵车概率平均堵车时间（单位：小时）21（表1）堵车时间（单位：小时）频数86382424（表2）（1）求段平均堵车时间的值.（2）若只考虑所花汽油费期望值的大小，为了节约，求选择走甲线路的概率.（3）在(2)的条件下，某4名司机中走甲线路的人数记为X，求X的数学期望。例8．如图，某工人的住所在处，上班的企业在处，开车上下班的路线有三条路程几乎相等的线路供选择:环城南路经过医院的路口，环城北路经过学校的路口，中间路线经过商场的路口。如果开车到五个路口因遇到红灯而堵车的概率分别为，再无别的路口红灯.(1)为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线?(2)对于(1)所选择的路线，求其堵车次数的方差.点睛：本题主要考查了随机变量的分布列、数学期望和方程的求解以及应用，着重考查了考生的推理与运算能力，以及函数与方程思想，试题能很好的考查考生数学应用意识，属于中档试题.例9．为响应绿色出行，某市在：推出“共亨单车”后，又推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分吋租赁汽车具体收费标准为日间0.5元/分钟，晚间(18时30分至次日上午7时30分)收费35元/小时，已知孙先生家离上班地点20公里，每天日间租用该款汽车上、下班各一次.由于堵车、红绿灯等因素，每次路上开车花费的时间t(分钟)是一个随机变量.现统计了50次路上开车花费时间，在各时间段内的频数分布情况如表所示：时间t(分钟)(20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]频数41618102将各时间段发生的频率视为概率，每次路上开车花费的时间视为用车时间，范围为(20,70]分钟．(1)若孙先生一次开车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设X表示4次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求X的分布列和期望；(2)若公司每月给1000元的车补，请估计孙先生每月(按22天计算)的车补是否足够上、下班租用新能源分时租赁汽车？并说明理由.(同一时段，用该区间的中点值作代表)．例10．为响应低碳绿色出行，某市推出“新能源分时租赁汽车”，其中一款新能源分时租赁汽车，每次租车收费的标准由以下两部分组成：①根据行驶里数按1元/公里计费;②当租车时间不超过40分钟时，按0.12元/分钟计费;当租车时间超过40分钟时，超出的部分按0.20元/分钟计费;③租车时间不足1分钟，按1分钟计算。已知张先生从家里到公司的距离为15公里，每天租用该款汽车上下班各一次，且每次租车时间t20,60（单位：分钟）.由于堵车，红绿灯等因素，每次路上租车时间t是一个随机变量，现统计了他50次路上租车时间，整理后得到下表:租车时间t（分钟）[20，30]（30，40]（40，50]（50，60]频数2182010将上述租车时间的频率视为概率.(1)写出张先生一次租车费用y(元)与租车时间t(分钟)的函数关系式;(2)公司规定，员工上下班可以免费乘坐公司接送车，若不乘坐公司接送车的每月(按22天计算)给800元车补.从经济收入的角度分析，张先生上下班应该选择公司接送车，还是租用该款新能源汽车?(3)若张先生一次租车时间不超过40分钟为“路段畅通”，设ξ表示3次租用新能源分时租赁汽车中“路段畅通”的次数，求ξ的分布列和期望;