2015年上海高考数学真题（文科）试卷（word解析版）

绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数的最小正周期为.2.设全集.若集合，，则.3.若复数满足，其中是虚数单位，则.4.设为的反函数，则.5.若线性方程组的增广矩阵为解为，则.6.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则.7.抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则.8.方程的解为.9.若满足，则目标函数的最大值为.10.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.11.在的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）.12.已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为.13.已知平面向量、、满足，且，则的最大值是.14.已知函数.若存在，，，满足，且，则的最小值为.二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15.设、，则“、均为实数”是“是实数”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件16.下列不等式中，与不等式解集相同的是（）.A.B.C.D.17.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）.A.B.C.D.18.设是直线与圆在第一象限的交点，则极限().A.B.C.D.三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点.已知，，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角的大小.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知函数，其中为实数.（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地；时，乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.[ZXXK]已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，设的面积为.（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设，，，求的值；（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；（3）设，，求的取值范围，使得对任意，，，且.2015年上海市文科试题一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1.函数的最小正周期为.【答案】【解析】因为，所以，所以函数的最小正周期为.【考点定位】函数的周期，二倍角的余弦公式.2.设全集.若集合，，则.【答案】【考点定位】集合的运算.3.若复数满足，其中是虚数单位，则.[【答案】【考点定位】复数的概念，复数的运算.4.设为的反函数，则.【答案】【解析】因为为的反函数，，解得，所以.【考点定位】反函数，函数的值.5.若线性方程组的增广矩阵为解为，则.【答案】16【解析】由题意，是方程组的解，所以，所以.【考点定位】增广矩阵，线性方程组的解法.6.若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则.【答案】4【解析】依题意，，解得.【考点定位】等边三角形的性质，正三棱柱的性质.7.抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则.【答案】2【解析】依题意，点为坐标原点，所以，即.【考点定位】抛物线的性质，最值.8.方程的解为.【答案】2【考点定位】对数方程.9.若满足，则目标函数的最大值为.【答案】3【考点定位】不等式组表示的平面区域，简单的线性规划.10.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）.【答案】120【考点定位】组合，分类计数原理.11.在的二项式中，常数项等于（结果用数值表示）.【答案】240【解析】由，令，所以，所以常数项为.【考点定位】二项式定理.[12.已知双曲线、的顶点重合，的方程为，若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍，则的方程为.【答案】【考点定位】双曲线的性质，直线的斜率.13.已知平面向量、、满足，且，则的最大值是.【答案】【考点定位】平向量的模，向量垂直.14.已知函数.若存在，，，满足，且，则的最小值为.【答案】8【解析】因为函数对任意，，，欲使取得最小值，尽可能多的让取得最高点，考虑，按下图取值满足条件，所以的最小值为8.【考点定位】正弦函数的性质，最值.二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15.设、，则“、均为实数”是“是实数”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【考点定位】复数的概念，充分条件、必要条件的判定.16.下列不等式中，与不等式解集相同的是（）.A.B.C.D.【答案】B【解析】因为，可能是正数、负数或零，所以由可得，所以不等式解集相同的是，选B.【考点定位】同解不等式的判断.17.已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（）.A.B.C.D.【答案】D【考点定位】三角函数的定义，和角的正切公式，两点间距离公式.18.设是直线与圆在第一象限的交点，则极限().A.B.C.D.【答案】A【解析】因为是直线与圆在第一象限的交点，而是经过点与的直线的斜率，由于点在圆上.[网ZXXK]因为，所以.【考点定位】圆的切线，极限.三．解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点.已知，，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角的大小.【答案】【考点定位】圆锥的性质，异面直线的夹角.（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.已知函数，其中为实数.（1）根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）若，判断函数在上的单调性，并说明理由.【答案】（1）是非奇非偶函数；（2）函数在上单调递增.【考点定位】函数的奇偶性、单调性.21.（本小题14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地；时，乙到达地.（1）求与的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1），千米；（2）不超过了3千米.【解析】（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接，如图所示，则，所以在中，由余弦定理得（千米）.（2）可求得，设小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C点，如图所示，所以，，所以在中，由余弦定理，所以，，设，，因为函数的对称轴为，且，，所以得最大值为，此时的最大值为，所以在上得最大值不超过3.【考点定位】余弦定理的实际运用，函数的值域.22.（本题满分14分）本题共3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知椭圆，过原点的两条直线和分别于椭圆交于、和、，设的面积为.（1）设，，用、的坐标表示点到直线的距离，并证明；（2）设，，，求的值；（3）设与的斜率之积为，求的值，使得无论与如何变动，面积保持不变.【答案】（1）详见解析；（2）或；（3）.（3）设，则，设，，由，的，同理，由（1）知，[，整理得，由题意知与无关，则，解得.所以.【考点定位】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.23.（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列与满足，.（1）若，且，求数列的通项公式；（2）设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；（3）设，，求的取值范围，使得对任意，，，且.【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.【解析】（1）因为，，所以，所以是等差数列，首项为，公差为6，即.（2）由，得，所以为常数列，，即，因为，，所以，即，所以的第项是最大项.【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.