2014年上海高考数学真题(理科)试卷(word解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 15页 · 1.3 M

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(理工农医类)(满分150分,考试时间120分钟)考生注意1.本场考试时间120分钟,试卷共4页,满分150分,答题纸共2页.2.作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.函数的最小正周期是 .2.若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则=___________.3.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为___________.4.设若,则的取值范围为_____________.5.若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍,则其母线与底面角的大小为(结果用反三角函数值表示).7.已知曲线C的极坐标方程为,则C与极轴的交点到极点的距离是.8.设无穷等比数列{}的公比为q,若,则q=.9.若,则满足的取值范围是.10.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概率是(结构用最简分数表示).11.已知互异的复数a,b满足ab≠0,集合{a,b}={,},则=.12.设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解,则.13.某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2,则小白得5分的概率至少为.14.已知曲线C:,直线l:x=6.若对于点A(m,0),存在C上的点P和l上的点Q使得,则m的取值范围为.二、选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.15.设,则“”是“”的()充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件16.如图,四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱,AB是一条侧棱,是上底面上其余的八个点,则的不同值的个数为()(A)1(B)2(C)4(D)817.已知与是直线y=kx+1(k为常数)上两个不同的点,则关于x和y的方程组的解的情况是()无论k,如何,总是无解(B)无论k,如何,总有唯一解(C)存在k,,使之恰有两解(D)存在k,,使之有无穷多解18.若是的最小值,则的取值范围为().(A)[-1,2](B)[-1,0](C)[1,2](D)三.解答题(本大题共5题,满分74分)19、(本题满分12分)底面边长为2的正三棱锥,其表面学科网展开图是三角形,如图,求△的各边长及此三棱锥的体积.zxxk(本题满分14分)本题有2个小题,第一小题满分6分,第二小题满分1分。设常数,函数若=4,求函数的反函数;根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长35米,长80米,设在同一水平面上,从和看的仰角分别为.设计中是铅垂方向,若要求zxxk,问的长至多为多少(结果精确到0.01米)?施工完成后.与铅垂方向有偏差,现在学科网实测得求的长(结果精确到0.01米)?22(本题满分16分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系中,对于直线:和点记若<0,则称点被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点,且曲线C上存在点被直线分隔,则称直线为曲线C的一条分隔线.=1\*GB2\*MERGEFORMAT⑴求证:点被直线分隔;=2\*GB2\*MERGEFORMAT⑵若直线是曲线的分隔线,求实数的取值范围;=3\*GB2\*MERGEFORMAT⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1,设点M的轨迹为E,求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是E的分割线.(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分6分,第3小题满分9分.已知数列满足.若,求的取值范围;若是公比为等比数列,,zxxk求的取值范围;若成等差数列,且,学科网求正整数的最大值,以及取最大值时相应数列的公差. 上海数学(理)参考答案一、1.2.63.4.5.6.7.8.9.10.11.-112.13.14.二、15.B16.A17.B18.D19.解:∵由题得,三棱锥是正三棱锥∴侧棱与底边所成角相同且底面是边长为2的正三角形∴由题得,,又∵三点恰好在构成的的三条边上∴∴∴,三棱锥是边长为2的正四面体∴如右图所示作图,设顶点在底面内的投影为,连接,并延长交于∴为中点,为的重心,底面∴,,解:(1)由题得,∴,∵且∴①当时,,∴对任意的都有,∴为偶函数②当时,,,∴对任意的且都有,∴为奇函数③当且时,定义域为,∴定义域不关于原定对称,∴为非奇非偶函数解:(1)由题得,∵,且,即,解得,,∴米由题得,,∵,∴米∵,∴米证明:(1)由题得,,∴被直线分隔。解:(2)由题得,直线与曲线无交点即无解∴或,∴证明:(理科)(3)由题得,设,∴,化简得,点的轨迹方程为。①当过原点的直线斜率存在时,设方程为。联立方程,。令,,显然是开口朝上的二次函数∴由二次函数与幂函数的图像可得,必定有解,不符合题意,舍去②当过原点的直线斜率不存在时,其方程为。显然与曲线没有交点,在曲线上找两点。∴,符合题意综上所述,仅存在一条直线是的分割线。证明:(文科)(3)由题得,设,∴,化简得,点的轨迹方程为。显然与曲线没有交点,在曲线上找两点。∴,符合题意。∴是的分割线。解:(1)由题得,(理科)(2)由题得,∵,且数列是等比数列,,∴,∴,∴。又∵,∴当时,对恒成立,满足题意。当时,∴①当时,,由单调性可得,,解得,②当时,,由单调性可得,,解得,(理科)(3)由题得,∵,且数列成等差数列,,∴,∴,∴又∵,∴∴,∴,解得,,∴的最大值为1999,此时公差为 2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)考生注意:1.本试卷共4页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上,在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.(2014)函数的最小正周期是.【解析】:原式=,2.(2014)若复数,其中是虚数单位,则.【解析】:原式=3.(2014)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.【解析】:椭圆右焦点为,即抛物线焦点,所以准线方程4.(2014)设若,则的取值范围为.【解析】:根据题意,,∴5.(2014)若实数满足,则的最小值为.【解析】:6.(2014)若圆锥的侧面积是底面积的倍,则其母线与底面夹角的大小为(结果用反三角函数值表示).【解析】:设圆锥母线长为,底面圆半径为,∵,∴,即,∴,即母线与底面夹角大小为7.(2014)已知曲线的极坐标方程为,则与极轴的交点到极点的距离是.【解析】:曲线的直角坐标方程为,与轴的交点为,到原点距离为8.(2014)设无穷等比数列的公比为,若,则.【解析】:,∵,∴9.(2014)若,则满足的的取值范围是.【解析】:,结合幂函数图像,如下图,可得的取值范围是10.(2014)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练,则选择的天恰好为连续天的概率是(结果用最简分数表示).【解析】:11.(2014)已知互异的复数满足,集合,则.【解析】:第一种情况:,∵,∴,与已知条件矛盾,不符;第二种情况:,∴,∴,即;12.(2014)设常数使方程在闭区间上恰有三个解,则.【解析】:化简得,根据下图,当且仅当时,恰有三个交点,即13.(2014)某游戏的得分为,随机变量表示小白玩该游戏的得分.若,则小白得分的概率至少为.【解析】:设得分的概率为,∴,且,∴,与前式相减得:,∵,∴,即14.(2014)已知曲线,直线.若对于点,存在上的点和上的使得,则的取值范围为.【解析】:根据题意,是中点,即,∵,∴二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.(2014)设,则“”是“且”的 ()(A)充分条件. (B)必要条件.(C)充分必要条件. (D)既非充分又非必要条件.【解析】:B16.(2014)如图,四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱,是一条侧棱,是上底面上其余的八个点,则的不同值的个数为()(A). (B).(C). (D).【解析】:根据向量数量积的几何意义,等于乘以在方向上的投影,而在方向上的投影是定值,也是定值,∴为定值,∴选A17.(2014)已知与是直线(为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是 ()(A)无论如何,总是无解. (B)无论如何,总有唯一解.(C)存在,使之恰有两解. (D)存在,使之有无穷多解.【解析】:由已知条件,,,∴有唯一解,选B18.(2014)设若是的最小值,则的取值范围为()(A). (B). (C). (D).【解析】:先分析的情况,是一个对称轴为的二次函数,当时,,不符合题意,排除AB选项;当时,根据图像,即符合题意,排除C选项;∴选D;三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(2014)(本题满分12分)底面边长为的正三棱锥,其表面展开图是三角形,如图.求的各边长及此三棱锥的体积.【解析】:根据题意可得共线,∵,,∴,∴,同理,∴△是等边三角形,是正四面体,所以△边长为4;∴20.(2014)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.设常数,函数.(1)若,求函数的反函数;(2)根据的不同取值,讨论函数的奇偶性,并说明理由.【解析】:(1)∵,∴,∴,∴,∴,(2)若为偶函数,则,∴,整理得,∴,此时为偶函数若为奇函数,则,∴,整理得,∵,∴,此时为奇函数当时,此时既非奇函数也非偶函数21.(2014)(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图,某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长米,长米.设点在同一水平面上,从和看的仰角分别为和.(1)设计中是铅垂方向.若要求,问的长至多为多少(结果精确到米)? (2)施工完成后,与铅垂方向有偏差.现在实测得,,求的长(结果精确到米).【解析】:(1)设的长为米,则,∵,∴,∴,∴,解得,∴的长至多为米(2)设,,则,解得,∴,∴的长为米22.(2014)(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.在平面直角坐标系中,对于直线和点,记.若,则称点被直线分割.若曲线与直线没有公共点,且曲线上存在点被直线分割,则称直线为曲线的一条分割线.(1)求证:点被直线分割;(2)若直线是曲线的分割线,求实数的取值范围;(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为,设点的轨迹为曲线.求证:通过原点的直线中,有且仅有一条直线是的分割线.【解析】:(1)将分别代入,得∴点被直线分割(2)联立,得,依题意,方程无解,∴,∴或(3)设,则,∴曲线的方程为①当斜率不存在时,直线,显然与方程①联立无解,又为上两点,且代入,有,∴是一条分割线;当斜率存在时,设直线为,代入方程得:,令,则,,,当时,,∴,即在之间存在

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