2014年上海高考数学真题（理科）试卷（word解析版）

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（理工农医类）（满分150分，考试时间120分钟）考生注意1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数的最小正周期是 .2.若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则=___________.3.若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________.4.设若，则的取值范围为_____________.5.若实数x,y满足xy=1,则+的最小值为______________.6.若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）.7.已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是.8.设无穷等比数列{}的公比为q，若，则q=.9.若，则满足的取值范围是.10.为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结构用最简分数表示）.11.已知互异的复数a,b满足ab≠0，集合{a,b}={,},则=.12.设常数a使方程在闭区间[0,2]上恰有三个解，则.13.某游戏的得分为1,2,3,4,5，随机变量表示小白玩游戏的得分.若=4.2，则小白得5分的概率至少为.14.已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为.二、选择题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15.设,则“”是“”的（）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件16.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）（A）1(B)2(C)4(D)817.已知与是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）无论k，如何，总是无解（B)无论k，如何，总有唯一解（C）存在k，，使之恰有两解（D）存在k，，使之有无穷多解18.若是的最小值，则的取值范围为（）.(A)[-1,2](B)[-1，0](C)[1，2](D)三．解答题（本大题共5题，满分74分）19、（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥,其表面学科网展开图是三角形，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积.zxxk（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。设常数，函数若=4，求函数的反函数；根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米，设在同一水平面上，从和看的仰角分别为.设计中是铅垂方向，若要求zxxk，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在学科网实测得求的长（结果精确到0.01米）？22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，对于直线：和点记若<0，则称点被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.=1\*GB2\*MERGEFORMAT⑴求证：点被直线分隔；=2\*GB2\*MERGEFORMAT⑵若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；=3\*GB2\*MERGEFORMAT⑶动点M到点的距离与到轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.已知数列满足.若，求的取值范围；若是公比为等比数列，，zxxk求的取值范围；若成等差数列，且，学科网求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.上海数学（理）参考答案一、1.2.63.4.5.6.7.8.9.10.11.-112.13.14.二、15.B16.A17.B18.D19.解：∵由题得，三棱锥是正三棱锥∴侧棱与底边所成角相同且底面是边长为2的正三角形∴由题得，，又∵三点恰好在构成的的三条边上∴∴∴，三棱锥是边长为2的正四面体∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于∴为中点，为的重心，底面∴，，解：（1）由题得，∴，∵且∴①当时，，∴对任意的都有，∴为偶函数②当时，，，∴对任意的且都有，∴为奇函数③当且时，定义域为，∴定义域不关于原定对称，∴为非奇非偶函数解：（1）由题得，∵，且，即，解得，，∴米由题得，，∵，∴米∵，∴米证明：（1）由题得，，∴被直线分隔。解：（2）由题得，直线与曲线无交点即无解∴或，∴证明：（理科）（3）由题得，设，∴，化简得，点的轨迹方程为。①当过原点的直线斜率存在时，设方程为。联立方程，。令，，显然是开口朝上的二次函数∴由二次函数与幂函数的图像可得，必定有解，不符合题意，舍去②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为。显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。∴，符合题意综上所述，仅存在一条直线是的分割线。证明：（文科）（3）由题得，设，∴，化简得，点的轨迹方程为。显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。∴，符合题意。∴是的分割线。解：（1）由题得，（理科）（2）由题得，∵，且数列是等比数列，，∴，∴，∴。又∵，∴当时，对恒成立，满足题意。当时，∴①当时，，由单调性可得，，解得，②当时，，由单调性可得，，解得，（理科）（3）由题得，∵，且数列成等差数列，，∴，∴，∴又∵，∴∴，∴，解得，，∴的最大值为1999，此时公差为2014年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷(理工农医类)考生注意：1.本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.（2014）函数的最小正周期是.【解析】：原式＝，2.（2014）若复数，其中是虚数单位，则.【解析】：原式＝3.（2014）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为.【解析】：椭圆右焦点为，即抛物线焦点，所以准线方程4.（2014）设若，则的取值范围为.【解析】：根据题意，，∴5.（2014）若实数满足，则的最小值为.【解析】：6.（2014）若圆锥的侧面积是底面积的倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【解析】：设圆锥母线长为，底面圆半径为，∵，∴，即，∴，即母线与底面夹角大小为7.（2014）已知曲线的极坐标方程为，则与极轴的交点到极点的距离是.【解析】：曲线的直角坐标方程为，与轴的交点为，到原点距离为8.（2014）设无穷等比数列的公比为，若，则.【解析】：，∵，∴9.（2014）若，则满足的的取值范围是.【解析】：，结合幂函数图像，如下图，可得的取值范围是10.（2014）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进行紧急疏散演练，则选择的天恰好为连续天的概率是（结果用最简分数表示）.【解析】：11.（2014）已知互异的复数满足，集合，则.【解析】：第一种情况：，∵，∴，与已知条件矛盾，不符；第二种情况：，∴，∴，即；12.（2014）设常数使方程在闭区间上恰有三个解，则.【解析】：化简得，根据下图，当且仅当时，恰有三个交点，即13.（2014）某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分.若，则小白得分的概率至少为.【解析】：设得分的概率为，∴，且，∴，与前式相减得：，∵，∴，即14.（2014）已知曲线，直线.若对于点，存在上的点和上的使得，则的取值范围为.【解析】：根据题意，是中点，即，∵，∴二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15.（2014）设，则“”是“且”的 （）(A)充分条件. (B)必要条件.(C)充分必要条件. (D)既非充分又非必要条件.【解析】：B16.（2014）如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）(A). (B).(C). (D).【解析】：根据向量数量积的几何意义，等于乘以在方向上的投影，而在方向上的投影是定值，也是定值，∴为定值，∴选A17.（2014）已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是 （）(A)无论如何，总是无解. (B)无论如何，总有唯一解.(C)存在，使之恰有两解. (D)存在，使之有无穷多解.【解析】：由已知条件，，，∴有唯一解，选B18.（2014）设若是的最小值，则的取值范围为（）(A). (B). (C). (D).【解析】：先分析的情况，是一个对称轴为的二次函数，当时，，不符合题意，排除AB选项；当时，根据图像，即符合题意，排除C选项；∴选D；三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.（2014）(本题满分12分)底面边长为的正三棱锥，其表面展开图是三角形，如图.求的各边长及此三棱锥的体积.【解析】：根据题意可得共线，∵，，∴，∴，同理，∴△是等边三角形，是正四面体，所以△边长为4；∴20.（2014）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设常数，函数.(1)若，求函数的反函数；(2)根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.【解析】：（1）∵，∴，∴，∴，∴，（2）若为偶函数，则，∴，整理得，∴，此时为偶函数若为奇函数，则，∴，整理得，∵，∴，此时为奇函数当时，此时既非奇函数也非偶函数21.（2014）(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长米，长米.设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和.(1)设计中是铅垂方向.若要求，问的长至多为多少（结果精确到米）？ (2)施工完成后，与铅垂方向有偏差．现在实测得，，求的长（结果精确到米）.【解析】：（1）设的长为米，则，∵，∴，∴，∴，解得，∴的长至多为米（2）设，，则，解得，∴，∴的长为米22.（2014）(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.在平面直角坐标系中，对于直线和点，记.若，则称点被直线分割.若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分割，则称直线为曲线的一条分割线.(1)求证：点被直线分割；(2)若直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线.求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线.【解析】：（1）将分别代入，得∴点被直线分割（2）联立，得，依题意，方程无解，∴，∴或（3）设，则，∴曲线的方程为①当斜率不存在时，直线，显然与方程①联立无解，又为上两点，且代入，有，∴是一条分割线；当斜率存在时，设直线为，代入方程得：，令，则，，，当时，，∴，即在之间存在