2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标ⅱ）（含解析版）

2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）i（2+3i）=（ ）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ）A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（ ）A． B． C． D． 4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（ ）A．4 B．3 C．2 D．0 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（ ）A．4 B． C． D．2 8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ）A． B． C． D． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（ ）A． B． C． D．π 11．（5分）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1⊥PF2，且∠PF2F1=60°，则C的离心率为（ ）A．1﹣ B．2﹣ C． D．﹣1 12．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f（1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ）A．﹣50 B．0 C．2 D．50 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为 ．14．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为 ．15．（5分）已知tan（α﹣）=，则tanα= ．16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°．若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为 ． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15．（1）求{an}的通项公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t．（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．20．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C交于A，B两点，|AB|=8．（1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．21．（12分）已知函数f（x）=x3﹣a（x2+x+1）．（1）若a=3，求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点． （二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率． [选修4-5：不等式选讲]（10分）23．设函数f（x）=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|．（1）当a=1时，求不等式f（x）≥0的解集；（2）若f（x）≤1，求a的取值范围． 2018年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）i（2+3i）=（ ）A．3﹣2i B．3+2i C．﹣3﹣2i D．﹣3+2i 【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5N：数系的扩充和复数．【分析】利用复数的代数形式的乘除运算法则直接求解．【解答】解：i（2+3i）=2i+3i2=﹣3+2i．故选：D．【点评】本题考查复数的求法，考查复数的代数形式的乘除运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 2．（5分）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（ ）A．{3} B．{5} C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7} 【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；37：集合思想；4O：定义法；5J：集合．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，∴A∩B={3，5}．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 3．（5分）函数f（x）=的图象大致为（ ）A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可．【解答】解：函数f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D．当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C，故选：B．【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键． 4．（5分）已知向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=（ ）A．4 B．3 C．2 D．0 【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用．【分析】根据向量的数量积公式计算即可．【解答】解：向量，满足||=1，=﹣1，则•（2）=2﹣=2+1=3，故选：B．【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题 5．（5分）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为（ ）A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5I：概率与统计．【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，故选：D．【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题． 6．（5分）双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则其渐近线方程为（ ）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系进行求解即可．【解答】解：∵双曲线的离心率为e==，则=====，即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，故选：A．【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐近线的方程是解决本题的关键． 7．（5分）在△ABC中，cos=，BC=1，AC=5，则AB=（ ）A．4 B． C． D．2 【考点】HR：余弦定理．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可．【解答】解：在△ABC中，cos=，cosC=2×=﹣，BC=1，AC=5，则AB====4．故选：A．【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力． 8．（5分）为计算S=1﹣+﹣+…+﹣，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入（ ）A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题．菁优网版权所有【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T，由此知空白处应填入的条件．【解答】解：模拟程序框图的运行过程知，该程序运行后输出的是S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）；累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2．故选：B．【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题． 9．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ）A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与CD所成角的正切值．【解答】解以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣2，0），设异面直线AE与CD所成角为θ，则cosθ===，sinθ==，∴tanθ=．∴异面直线AE与CD所成角的正切值为．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间角等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是（ ）A． B． C． D．π 【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性．菁优网版权所有【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值．【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由﹣+2kπ≤x﹣≤+2kπ，k∈Z，得﹣+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[﹣，]，结合已知条件即可求出a的最大值．【解答】