2321A.B.C.D.2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅱ卷)3555文科数学答案 B一、选择题解析 设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1,a2,a3,未测量过这项指标的2只为b1,b2,则从5只兔子中1.已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B等于( )随机取出3只的所有可能情况为(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10种可能.其中恰有2只测量过该指标的A.(-1,+∞)B.(-∞,2)情况为(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),共6种可能.C.(-1,2)D.∅故恰有2只测量过该指标的概率为=.答案 C解析 A∩B={x|x>-1}∩{x|x<2}={x|-1解析 ∵z=i(2+i)=-1+2i,A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙∴=-1-2i.C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙3.已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|等于( )答案 AA.2B.2C.52D.50解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确.若甲预测正确,则乙、丙预测错误,于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙;若甲预测错误,则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲,再假设丙预测正确,答案 A则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙,于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲,从而乙的预测解析 ∵a-b=(2,3)-(3,2)=(-1,1),也正确,与事实矛盾;若甲、丙预测错误,则可推出乙的预测也错误.综上所述,三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙.∴|a-b|==.6.设f(x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=ex-1,则当x<0时,f(x)等于( )4.生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量A.e-x-1B.e-x+1过该指标的概率为( )C.-e-x-1D.-e-x+1答案 D∴T=π,∴=π,∴ω=2.解析 当x<0时,-x>0,푥2푦29.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆4+=1的一个焦点,则p等于( )∵当x≥0时,f(x)=ex-1,3푝푝∴f(-x)=e-x-1.A.2B.3C.4D.8又∵f(x)为奇函数,答案 D∴f(x)=-f(-x)=-e-x+1.解析 由题意知,抛物线的焦点坐标为,椭圆的焦点坐标为(±,0),所以=,解得p=8,故选7.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是( )D.A.α内有无数条直线与β平行10.曲线y=2sinx+cosx在点(π,-1)处的切线方程为( )B.α内有两条相交直线与β平行A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.α,β平行于同一条直线C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=0D.α,β垂直于同一平面答案 C答案 B解析 设y=f(x)=2sinx+cosx,解析 对于A,α内有无数条直线与β平行,当这无数条直线互相平行时,α与β可能相交,所以A不正确;则f′(x)=2cosx-sinx,对于B,根据两平面平行的判定定理与性质知,B正确,对于C,平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,所以C不正确;对于D,垂直于同一平面的两个平面可能相交,也可能平行,如长方体的相邻两个∴f′(π)=-2,侧面都垂直于底面,但它们是相交的,所以D不正确,综上可知选B.∴曲线在点(π,-1)处的切线方程为3蟺8.若x=,x=是函数f(x)=sinωx(ω>0)两个相邻的极值点,则ω等于( )y-(-1)=-2(x-π),12{4}即2x+y-2π+1=0.31A.2B.C.1D.2211.已知α∈,2sin2α=cos2α+1,则sinα等于( )答案 A15325解析 由题意及函数y=sinωx的图象与性质可知,A.B.C.D.5535T=-,答案 B解析 由2sin2α=cos2α+1,得4sinαcosα=1-2sin2α+1,即2sinαcosα=1-sin2α.因为α∈,所以cosα=,所以2sinα=1-sin2α,解得sinα=,故选B.푥2푦2.设为双曲线:-=,的右焦点,为坐标原点,以为直径的圆与圆2+2=2交于12FC221(a>0b>0)OOFxya푎푏由图易知,当直线y=3x-z过点C时,-z最小,即z最大.P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )A.2B.3C.2D.5由解得答案 A即C点坐标为(3,0),解析 如图,由题意知,以OF为直径的圆的方程为2+y2=①,将x2+y2=a2记为②式,①-②得x故zmax=3×3-0=9.=,则以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2的相交弦所在直线的方程为x=,所以|PQ|=2.14.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________.答案 0.98解析 经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为=0.98.422442由|PQ|=|OF|,得2=c,整理得c-4ac+4a=0,即e-4e+4=0,解得e=,故选A.15.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=________.二、填空题答案 13.若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最大值是________.解析 ∵bsinA+acosB=0,∴=,答案 9解析 作出已知约束条件对应的可行域,如图中阴影部分(含边界)所示,由正弦定理,得-cosB=sinB,∴tanB=-1,(1)证明 由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE⊂平面ABB1A1,又B∈(0,π),∴B=.故B1C1⊥BE.16.中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北又BE⊥EC,BC∩EC=C,BC,EC⊂平面EBC,朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多1111111111面体.半正多面体体现了数学的对称美.图是一个棱数为的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体248所以BE⊥平面EB1C1.的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为________.(2)解 由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6. 如图,答案 26 2-1解析 依题意知,题中的半正多面体的上、下、左、右、前、后6个面都在正方体的表面上,且该半正多面体的表面由18个正方形,8个正三角形组成,因此题中的半正多面体共有26个面.注意到该半正多面体的俯视图的轮廓是一个正八边形,设题中的半正多面体的棱长为x,则x+x+x=1,解得x=-1,故题中的半正多面体的棱长为-1.作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3.三、解答题所以四棱锥E-BB1C1C的体积17.如图,V=×3×6×3=18.18.已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=log2an,求数列{bn}的前n项和.长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.解 (1)设{an}的公比为q,(1)证明:BE⊥平面EB1C1;由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.解得q=-2(舍去)或q=4.n-12n-1因此{an}的通项公式为an=2×4=2.=0.0296,2n-1(2)由(1)得bn=log22=(2n-1)log22=2n-1,s==0.02×≈0.17.2因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n.所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17.19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对푥2푦220.已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为C上的点,O为坐标原点.于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.푎2푏2(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率;(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.解 (1)连接PF1.由△POF2为等边三角形可知在△F1PF2中,(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;∠F1PF2=90°,|PF2|=c,|PF1|=c,(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)于是2a=|PF1|+|PF2|=(+1)c,附:74≈8.602.故C的离心率为e==-1.解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为=0.21.(2)由题意可知,若满足条件的点P(x,y)存在,产值负增长的企业频率为=0.02.则|y|·2c=16,·=-1,用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例即c|y|=16,①为2%.x2+y2=c2,②(2)=×(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30,又+=1.③22s=i(yi-)由②③及a2=b2+c2得y2=.=×[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]又由①知y2=,故b=4.又f(e2)=e2-3>0,由②③及a2=b2+c2得x2=(c2-b2),所以f(x)=0在(x0,+∞)内存在唯一根x=α.所以c2≥b2,从而a2=b2+c2≥2b2=32,由10).在极坐标系中,O为极点,点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C:因为y=lnx在(0,+∞)上单调递增,ρ=4sinθ上,直线l过点A(4,0)且与OM垂直,垂足为P.y=在(0,+∞)上单调递减,(1)当θ0=时,求ρ0及l的极坐标方程;所以f′(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)当M在C上运动且P在线段OM上时,求P点轨迹的极坐标方程.ln4-1又f′(1)=-1<0,f′(2)=ln2-=>0,解 (1)因为M(ρ0,θ0)在C上,当θ0=时,ρ0=4sin=2.2故存在唯一x0∈(1,2),使得f′(x0)=0.由已知得|OP|=|OA|co