2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）（含解析版）

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁UA=（ ）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（ ）A．5B．4C．3D．210．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（ ）A．B．C．D．A．9B．6C．﹣9D．﹣63．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1（ ）24．（5分）不等式|x﹣2|＜2的解集是（ ）A．B．C．D．A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（ ）于A，B两点，若，则k=（ ）A．28B．56C．112D．224﹣1A．B．C．D．26．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f（x）=（ ） A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.7．（5分）已知数列{a}满足3a++a=0，a=﹣，则{a}的前10项和等于（ ）nn1n2n13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）= ．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛8．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭结果共有 种．（用数字作答）圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（ ）15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为 ．A．B．C．D．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ），则球O的表面积等于 ． 第1页（共12页）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长（Ⅰ）求{an}的通项公式；为2的等边三角形．（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束（Ⅰ）求B．时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．第2页（共12页）22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列． 第3页（共12页）故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版） 参考答案与试题解析 3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（ ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1要求的.1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁UA=（ ）【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．菁优网版权所有A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【考点】1F：补集及其运算．菁优网版权所有【解答】解：∵，．【专题】11：计算题．∴=（2λ+3，3），．【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁UA，即可选出正确选项【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2}∵，所以{，，}∁UA=345∴=0，故选：B．∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键故选：B． 【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．．（分）若为第二象限角，，则（ ）25αsinα=cosα= A．B．C．D．4．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（ ）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．菁优网版权所有【考点】R5：绝对值不等式的解法．菁优网版权所有【专题】56：三角函数的求值．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．即可求出cosα的值．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．∴cosα=﹣=﹣．故选：D．第4页（共12页）【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转 化．5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（ ） A．28B．56C．112D．2247．（5分）已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（ ）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】DA：二项式定理．菁优网版权所有【专题】5I：概率与统计．【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．88﹣rr【解答】解：（x+2）展开式的通项为Tr+1=Cx2【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等令8﹣r=6得r=2，比数列的求和公式可求622∴展开式中x的系数是2C8=112．【解答】解：∵3an+1+an=0故选：C．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．∴ ∴数列{}是以为公比的等比数列﹣1an﹣6．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f（x）=（ ）∵A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）∴a=41【考点】4R：反函数．菁优网版权所有﹣10由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3）【专题】51：函数的性质及应用．【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函故选：C．数的定义域．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题 【解答】解：设y=log2（1+），8．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭把y看作常数，求出x：圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（ ）1+=2y，x=，其中y＞0，A．B．C．D．x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．第5页（共12页）【考点】K3：椭圆的标准方程．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．菁优网版权所有【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得=1．再由AB经过右焦点F2且垂直于【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．2x轴且|AB|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a=4，【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，b2=3，从而得到椭圆C的方程．所以函数的周期T=2（）=，【解答】解：设椭圆的方程为，所以T==，所以ω==4．可得c==1，所以a2﹣b2=1…①故选：B．∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|=3【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．∴可得A（1，），B（1，﹣），代入椭圆方程得，…② 10．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（ ）联解①②，可得a2=4，b2=3A．9B．6C．﹣9D．﹣6∴椭圆C的方程为【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有故选：C．【专题】53：导数的综合应用．【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．单几何性质等知识，属于基础题．【解答】解：∵y=x4+ax2+1， ∴y′=4x3+2ax，9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（ ）∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题． A．5B．4C．3D．2第6页（共12页）11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．（ ） 2A．B．C．D．12．（5分）已知抛物线C：y=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（ ）【考点】MI：直线与平面所成的角．菁优网版权所有A．B．C．D．2【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．2【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向【解答】解：由抛物线C：y=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2）