2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）（含解析版）

2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（ ）A．A⊊BB．B⊊AC．A=BD．A∩B=∅2．（5分）复数z=的共轭复数是（ ）A．2+iB．2﹣iC．﹣1+iD．﹣1﹣i3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ）A．﹣1B．0C．D．14．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A．A+B为a1，a2，…，an的和A．B．C．D．B．为a1，a2，…，an的算术平均数5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（ ）D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体6．（5分）如果执行下边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，an，输出A，的体积为（ ）B，则（ ）第1页（共15页）A．6B．9C．12D．18三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．积为（ ）（1）求A；A．πB．4πC．4πD．6π（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．9．（5分）已知ω＞0，0＜φ＜π，直线x=和x=是函数f（x）=sin（ωx+φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ=（ ）A．B．C．D．10．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（ ）A．B．C．4D．811．（5分）当0＜x≤时，4x＜logx，则a的取值范围是（ ）a18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格A．（0，）B．（，1）C．（1，）D．（，2）出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：n17yn12．（5分）数列{an}满足an+1+（﹣1）an=2n﹣1，则{an}的前60项和为（ ）枝，n∈N）的函数解析式．A．3690B．3660C．1845D．1830（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表： 日需求量n14151617181920二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）曲线y=x（3lnx+1）在点（1，1）处的切线方程为 ．频数10201616151310（）假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均14．（5分）等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3+3S2=0，则公比q= ．i10017100数；15．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．（ii）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，16．（5分）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m= ．求当天的利润不少于75元的概率． 第2页（共15页）x19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱21．（12分）设函数f（x）=e﹣ax﹣2．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；AA1的中点．（Ⅱ）若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两半径的圆F交l于B，D两点；点，若CF∥AB，证明：（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（1）CD=BC；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原（2）△BCD∽△GBD．点到m，n距离的比值．第3页（共15页）23．选修4﹣4；坐标系与参数方程24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆 时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；2222（2）设P为C1上任意一点，求|PA|+|PB|+|PC|+|PD|的取值范围．第4页（共15页）【解答】解：复数z====﹣1+i．2012年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）所以复数的共轭复数为：﹣1﹣i．参考答案与试题解析故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．3．（5分）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全21．（5分）已知集合A={x|x﹣x﹣2＜0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则（ ）相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，则这组样A．A⊊BB．B⊊AC．A=BD．A∩B=∅本数据的样本相关系数为（ ）A．﹣1B．0C．D．1【考点】18：集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有【专题】5J：集合．【考点】BS：相关系数．菁优网版权所有【分析】先求出集合A，然后根据集合之间的关系可判断【专题】29：规律型．【解答】解：由题意可得，A={x|﹣1＜x＜2}，【分析】所有样本点（x，y）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，故这组样本数据完全正相∵B={x|﹣1＜x＜1}，ii在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=关，故其相关系数为1．【解答】解：由题设知，所有样本点（x，y）（i=1，2，…，n）都在直线y=x+1上，∴B⊊A．ii故选：B．∴这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，【点评】本题主要考查了集合之间关系的判断，属于基础试题．故选：D． 【点评】本题主要考查样本的相关系数，是简单题．2．（5分）复数z=的共轭复数是（ ） ．+．．+．A2iB2﹣iC﹣1iD﹣1﹣i4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．菁优网版权所有A．B．C．D．【专题】11：计算题．【分析】利用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi的形式，然后求法共轭复数即可．【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有【专题】11：计算题．第5页（共15页）【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一由A（1，1），B（1，3），及△ABC为正三角形可得，AB=AC=BC=2即（a﹣1）2+（b﹣1）2=（a﹣1）2+（b﹣3）2=4点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．∴b=2，a=1+即C（1+，2）【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则此时直线AB的方程x=1，AC的方程为y﹣1=（x﹣1），∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点直线BC的方程为y﹣3=﹣（x﹣1）∴当直线x﹣y+z=0经过点A（1，1）时，z=0，经过点B（1，3）z=2，经过点C（1+，2）时，z=1﹣∴∴故选：C．故选：A．【点评】考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a，a，…，a，输出A， 12nB，则（ ）5．（5分）已知正三角形ABC的顶点A（1，1），B（1，3），顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=﹣x+y的取值范围是（ ）A．（1﹣，2）B．（0，2）C．（﹣1，2）D．（0，1+）【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】11：计算题．【分析】由A，B及△ABC为正三角形可得，可求C的坐标，然后把三角形的各顶点代入可求z的值，进而判断最大与最小值，即可求解范围【解答】解：设C（a，b），（a＞0，b＞0）第6页（共15页）故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题． 7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A．6B．9C．12D．18A．A+B为a1，a2，…，an的和【考点】L!：由三视图求面积、体积．菁优网版权所有B．为a1，a2，…，an的算术平均数【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．C．A和B分别是a1，a2，…，an中最大的数和最小的数【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；D．A和B分别是a1，a2，…，an中最小的数和最大的数底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．【考点】E7：循环结构．菁优网版权所有【专题】5K：算法和程序框图．故选：B．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，8．（5分）平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体再根据流程图所示的顺序，积为（ ）可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，an中最大的数和最小的数A．πB．4πC．4πD．6π其中A为a1，a2，…，an中最大的数，B为a1，a2，…，an中最小的数第7页（共15页）【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有A．B．C．4D．8【专题】11：计算题．【分析】利用平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，求出球的半【考点】KI：圆锥曲线的综合．菁优网版权所有径，然后求解球的体积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【解答】解：因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准所以球的半径为：=．线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），所以球的体积为：=4π．y2=16x的准线l：x=﹣4，故选：B．∵C与抛物线y2=16x