2010年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版ⅱ)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 13页 · 397.5 K

2010年全国统一高考数学试卷文科)(大纲版Ⅱ)一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设全集U={x∈N+|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)=( )A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5} 2.(5分)不等式<0的解集为( )A.{x|﹣2<x<3} B.{x|x<﹣2} C.{x|x<﹣2或x>3} D.{x|x>3} 3.(5分)已知sinα=,则cos(π﹣2α)=( )A.﹣ B.﹣ C. D. 4.(5分)函数的反函数是( )A.y=e2x﹣1﹣1(x>0) B.y=e2x﹣1+1(x>0) C.y=e2x﹣1﹣1(x∈R) D.y=e2x﹣1+1(x∈R) 5.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为( )A.1 B.2 C.3 D.4 6.(5分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )A.14 B.21 C.28 D.35 7.(5分)若曲线y=x2+ax+b在点(1,b)处的切线方程是x﹣y+1=0,则( )A.a=1,b=2 B.a=﹣1,b=2 C.a=1,b=﹣2 D.a=﹣1,b=﹣28.(5分)已知三棱锥S﹣ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 9.(5分)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( )A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 10.(5分)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若=,=,||=1,||=2,则=( )A.+ B.+ C.+ D.+ 11.(5分)与正方体ABCD﹣A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点( )A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无数个 12.(5分)已知椭圆T:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与T相交于A,B两点,若=3,则k=( )A.1 B. C. D.2 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)13.(5分)已知α是第二象限的角,tanα=﹣,则cosα= .14.(5分)(x+)9展开式中x3的系数是 .(用数字作答)15.(5分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A,与C的一个交点为B,若,则p= .16.(5分)已知球O的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆,AB为圆M与圆N的公共弦,AB=4,若OM=ON=3,则两圆圆心的距离MN= . 三、解答题(共6小题,满分70分)17.(10分)△ABC中,D为边BC上的一点,BD=33,sinB=,cos∠ADC=,求AD.18.(12分)已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2(),a3+a4+a5=64++)(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=(an+)2,求数列{bn}的前n项和Tn.19.(12分)如图,直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D为BB1的中点,E为AB1上的一点,AE=3EB1.(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB1与CD的公垂线;(Ⅱ)设异面直线AB1与CD的夹角为45°,求二面角A1﹣AC1﹣B1的大小.20.(12分)如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T1,T2,T3,T4,电流能通过T1,T2,T3的概率都是P,电流能通过T4的概率是0.9,电流能否通过各元件相互独立.已知T1,T2,T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(Ⅰ)求P;(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率.21.(12分)已知函数f(x)=﹣x2+ax+1﹣lnx.(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)的单调递增区间;(Ⅱ)若f(x)在区间(0,)上是减函数,求实数a的取值范围.22.(12分)已知斜率为1的直线l与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为M(1,3).(Ⅰ)求C的离心率;(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|•|BF|=17,证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切. 2010年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版Ⅱ)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)1.(5分)设全集U={x∈N+|x<6},集合A={1,3},B={3,5},则∁U(A∪B)=( )A.{1,4} B.{1,5} C.{2,4} D.{2,5} 【考点】1H:交、并、补集的混合运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】由全集U={x∈N+|x<6},可得U={1,2,3,4,5},然后根据集合混合运算的法则即可求解.【解答】解:∵A={1,3},B={3,5},∴A∪B={1,3,5},∵U={x∈N+|x<6}={1,2,3,4,5},∴∁U(A∪B)={2,4},故选:C.【点评】本题考查了集合的基本运算,属于基础知识,注意细心运算. 2.(5分)不等式<0的解集为( )A.{x|﹣2<x<3} B.{x|x<﹣2} C.{x|x<﹣2或x>3} D.{x|x>3} 【考点】73:一元二次不等式及其应用.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】本题的方法是:要使不等式小于0即要分子与分母异号,得到一个一元二次不等式,讨论x的值即可得到解集.【解答】解:∵,得到(x﹣3)(x+2)<0即x﹣3>0且x+2<0解得:x>3且x<﹣2所以无解;或x﹣3<0且x+2>0,解得﹣2<x<3,所以不等式的解集为﹣2<x<3故选:A.【点评】本题主要考查学生求不等式解集的能力,是一道基础题. 3.(5分)已知sinα=,则cos(π﹣2α)=( )A.﹣ B.﹣ C. D. 【考点】GO:运用诱导公式化简求值;GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】先根据诱导公式求得cos(π﹣2a)=﹣cos2a进而根据二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案.【解答】解:∵sina=,∴cos(π﹣2a)=﹣cos2a=﹣(1﹣2sin2a)=﹣.故选:B.【点评】本题考查了二倍角公式及诱导公式.考查了学生对三角函数基础公式的记忆. 4.(5分)函数的反函数是( )A.y=e2x﹣1﹣1(x>0) B.y=e2x﹣1+1(x>0) C.y=e2x﹣1﹣1(x∈R) D.y=e2x﹣1+1(x∈R) 【考点】4H:对数的运算性质;4R:反函数.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】从条件中中反解出x,再将x,y互换即得.解答本题首先熟悉反函数的概念,然后根据反函数求解三步骤:1、换:x、y换位,2、解:解出y,3、标:标出定义域,据此即可求得反函数.【解答】解:由原函数解得x=e2y﹣1+1,∴f﹣1(x)=e2x﹣1+1,又x>1,∴x﹣1>0;∴ln(x﹣1)∈R∴在反函数中x∈R,故选:D.【点评】求反函数,一般应分以下步骤:(1)由已知解析式y=f(x)反求出x=Ф(y);(2)交换x=Ф(y)中x、y的位置;(3)求出反函数的定义域(一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域). 5.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为( )A.1 B.2 C.3 D.4 【考点】7C:简单线性规划.菁优网版权所有【专题】31:数形结合.【分析】先根据约束条件画出可行域,设z=2x+y,再利用z的几何意义求最值,只需求出直线z=2x+y过可行域内的点B时,从而得到m值即可.【解答】解:作出可行域,作出目标函数线,可得直线与y=x与3x+2y=5的交点为最优解点,∴即为B(1,1),当x=1,y=1时zmax=3.故选:C.【点评】本题考查了线性规划的知识,以及利用几何意义求最值,属于基础题. 6.(5分)如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a1+a2+…+a7=( )A.14 B.21 C.28 D.35 【考点】83:等差数列的性质;85:等差数列的前n项和.菁优网版权所有【分析】由等差数列的性质求解.【解答】解:a3+a4+a5=3a4=12,a4=4,∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选:C.【点评】本题主要考查等差数列的性质. 7.(5分)若曲线y=x2+ax+b在点(1,b)处的切线方程是x﹣y+1=0,则( )A.a=1,b=2 B.a=﹣1,b=2 C.a=1,b=﹣2 D.a=﹣1,b=﹣2 【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有【专题】11:计算题;52:导数的概念及应用.【分析】由y=x2+ax+b,知y′=2x+a,再由曲线y=x2+ax+b在点(1,b)处的切线方程为x﹣y+1=0,求出a和b.【解答】解:∵y=x2+ax+b,∴y′=2x+a,∵y′|x=1=2+a,∴曲线y=x2+ax+b在点(1,b)处的切线方程为y﹣b=(2+a)(x﹣1),∵曲线y=x2+ax+b在点(1,b)处的切线方程为x﹣y+1=0,∴a=﹣1,b=2.故选:B.【点评】本题考查利用导数求曲线上某点切线方程的应用,解题时要认真审题,仔细解答. 8.(5分)已知三棱锥S﹣ABC中,底面ABC为边长等于2的等边三角形,SA垂直于底面ABC,SA=3,那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( )A. B. C. D. 【考点】MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】由图,过A作AE垂直于BC交BC于E,连接SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF,由题设条件证出∠ABF即所求线面角.由数据求出其正弦值.【解答】解:过A作AE垂直于BC交BC于E,连接SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF,∵正三角形ABC,∴E为BC中点,∵BC⊥AE,SA⊥BC,∴BC⊥面SAE,∴BC⊥AF,AF⊥SE,∴AF⊥面SBC,∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角,由正三角形边长2,∴AE=,AS=3,∴SE=2,AF=,∴sin∠ABF=.故选:D.【点评】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角. 9.(5分)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,若每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,则不同的方法共有( )A.12种 B.18种 C.36种 D.54种 【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】本题是一个分步计数问题,首先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4个数中选两个放一个信封有C42,余下放入最后一个信封,根据分步计数原理得到结果.【解答】解:由题意知,本题是一个分步计数问题,∵先从3个信封中选一个放1,2,有=3种不同的选法;根据分组公式,其他四封信放入两个信封,每个信封两个有=6种放法,∴共有3×6×1=18.故选:B.【点评】本题考查分步计数原理,考查平均分组问题,是一个易错题,解题的关键是注意到第二步从剩下的4个数中选两个放到一个信封中,这里包含两个步骤,先平均分组,再排列. 10.(5分)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,若=,=,||=1,||=2,则=( )A.+ B.+ C.+ D.+ 【考点】9B:向量加减混合运算.菁优网版权所有【分析】由△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,根据三角形内角平分线定理,我们易得到,我们将后,将各向量用,表示,即可得到答案.【解答】解:∵CD为角平分线,∴,∵,∴,∴故选:B.【点评】本题考查了平面向量的基础知识,解答的核心是三角形内角平分线定理,即若AD为三角形ABC的内角A的角平分线,则AB:AC=BD:CD 11.(5分)与正方体ABCD﹣A1B1C1

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