2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 12页 · 300.5 K

2014年全国统一高考数学试卷文科)(大纲版)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.(5分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为( )A.2 B.3 C.5 D.7 2.(5分)已知角α的终边经过点(﹣4,3),则cosα=( )A. B. C.﹣ D.﹣ 3.(5分)不等式组的解集为( )A.{x|﹣2<x<﹣1} B.{x|﹣1<x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|x>1} 4.(5分)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 5.(5分)函数y=ln(+1)(x>﹣1)的反函数是( )A.y=(1﹣ex)3(x>﹣1) B.y=(ex﹣1)3(x>﹣1) C.y=(1﹣ex)3(x∈R) D.y=(ex﹣1)3(x∈R) 6.(5分)已知,为单位向量,其夹角为60°,则(2﹣)•=( )A.﹣1 B.0 C.1 D.2 7.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 8.(5分)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31 B.32 C.63 D.64 9.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 10.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π C.9π D. 11.(5分)双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于( )A.2 B.2 C.4 D.4 12.(5分)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.(5分)(x﹣2)6的展开式中x3的系数是 .(用数字作答)14.(5分)函数y=cos2x+2sinx的最大值是 .15.(5分)设x,y满足约束条件,则z=x+4y的最大值为 .16.(5分)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于 .三、解答题17.(10分)数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1﹣an+2.(Ⅰ)设bn=an+1﹣an,证明{bn}是等差数列;(Ⅱ)求{an}的通项公式.18.(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.(Ⅰ)证明:AC1⊥A1B;(Ⅱ)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为,求二面角A1﹣AB﹣C的大小.20.(12分)设每个工作日甲,乙,丙,丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(Ⅰ)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(Ⅱ)实验室计划购买k台设备供甲,乙,丙,丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.21.(12分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围.22.(12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程. 2014年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.(5分)设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为( )A.2 B.3 C.5 D.7 【考点】1A:集合中元素个数的最值;1E:交集及其运算.菁优网版权所有【专题】5J:集合.【分析】根据M与N,找出两集合的交集,找出交集中的元素即可.【解答】解:∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},∴M∩N={1,2,6},即M∩N中元素的个数为3.故选:B.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.(5分)已知角α的终边经过点(﹣4,3),则cosα=( )A. B. C.﹣ D.﹣ 【考点】G9:任意角的三角函数的定义.菁优网版权所有【专题】56:三角函数的求值.【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值.【解答】解:∵角α的终边经过点(﹣4,3),∴x=﹣4,y=3,r==5.∴cosα===﹣,故选:D.【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,属于基础题. 3.(5分)不等式组的解集为( )A.{x|﹣2<x<﹣1} B.{x|﹣1<x<0} C.{x|0<x<1} D.{x|x>1} 【考点】7E:其他不等式的解法.菁优网版权所有【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式,分别求出不等式组中每个不等式的解集,再取交集,即得所求.【解答】解:由不等式组可得,解得0<x<1,故选:C.【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法,属于基础题. 4.(5分)已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )A. B. C. D. 【考点】LM:异面直线及其所成的角.菁优网版权所有【专题】5G:空间角.【分析】由E为AB的中点,可取AD中点F,连接EF,则∠CEF为异面直线CE与BD所成角,设出正四面体的棱长,求出△CEF的三边长,然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的余弦值.【解答】解:如图,取AD中点F,连接EF,CF,∵E为AB的中点,∴EF∥DB,则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角,∵ABCD为正四面体,E,F分别为AB,AD的中点,∴CE=CF.设正四面体的棱长为2a,则EF=a,CE=CF=.在△CEF中,由余弦定理得:=.故选:B.【点评】本题考查异面直线及其所成的角,关键是找角,考查了余弦定理的应用,是中档题. 5.(5分)函数y=ln(+1)(x>﹣1)的反函数是( )A.y=(1﹣ex)3(x>﹣1) B.y=(ex﹣1)3(x>﹣1) C.y=(1﹣ex)3(x∈R) D.y=(ex﹣1)3(x∈R) 【考点】4R:反函数.菁优网版权所有【专题】51:函数的性质及应用.【分析】由已知式子解出x,然后互换x、y的位置即可得到反函数.【解答】解:∵y=ln(+1),∴+1=ey,即=ey﹣1,∴x=(ey﹣1)3,∴所求反函数为y=(ex﹣1)3,故选:D.【点评】本题考查反函数解析式的求解,属基础题. 6.(5分)已知,为单位向量,其夹角为60°,则(2﹣)•=( )A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有【专题】5A:平面向量及应用.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得、的值,可得(2﹣)•的值.【解答】解:由题意可得,=1×1×cos60°=,=1,∴(2﹣)•=2﹣=0,故选:B.【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,属于基础题. 7.(5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A.60种 B.70种 C.75种 D.150种 【考点】D9:排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有【专题】5O:排列组合.【分析】根据题意,分2步分析,先从6名男医生中选2人,再从5名女医生中选出1人,由组合数公式依次求出每一步的情况数目,由分步计数原理计算可得答案.【解答】解:根据题意,先从6名男医生中选2人,有C62=15种选法,再从5名女医生中选出1人,有C51=5种选法,则不同的选法共有15×5=75种;故选:C.【点评】本题考查分步计数原理的应用,注意区分排列、组合的不同. 8.(5分)设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=( )A.31 B.32 C.63 D.64 【考点】89:等比数列的前n项和.菁优网版权所有【专题】54:等差数列与等比数列.【分析】由等比数列的性质可得S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,代入数据计算可得.【解答】解:S2=a1+a2,S4﹣S2=a3+a4=(a1+a2)q2,S6﹣S4=a5+a6=(a1+a2)q4,所以S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列,即3,12,S6﹣15成等比数列,可得122=3(S6﹣15),解得S6=63故选:C.【点评】本题考查等比数列的性质,得出S2,S4﹣S2,S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键,属基础题. 9.(5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点,若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 【考点】K4:椭圆的性质.菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】利用△AF1B的周长为4,求出a=,根据离心率为,可得c=1,求出b,即可得出椭圆的方程.【解答】解:∵△AF1B的周长为4,∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a,∴4a=4,∴a=,∵离心率为,∴,c=1,∴b==,∴椭圆C的方程为+=1.故选:A.【点评】本题考查椭圆的定义与方程,考查椭圆的几何性质,考查学生的计算能力,属于基础题. 10.(5分)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( )A. B.16π C.9π D. 【考点】LG:球的体积和表面积;LR:球内接多面体.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5F:空间位置关系与距离.【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上,记为O,求出PO1,OO1,解出球的半径,求出球的表面积.【解答】解:设球的半径为R,则∵棱锥的高为4,底面边长为2,∴R2=(4﹣R)2+()2,∴R=,∴球的表面积为4π•()2=.故选:A.【点评】本题考查球的表面积,球的内接几何体问题,考查计算能力,是基础题. 11.(5分)双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为,则C的焦距等于( )A.2 B.2 C.4 D.4 【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组即可得到结论.【解答】解:∵:﹣=1(a>0,b>0)的离心率为2,∴e=,双曲线的渐近线方程为y=,不妨取y=,即bx﹣ay=0,则c=2a,b=,∵焦点F(c,0)到渐近线bx﹣ay=0的距离为,∴d=,即,解得c=2,则焦距为2c=4,故选:C.【点评】本题主要考查是双曲线的基本运算,利用双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式,建立方程组是解决本题的关键,比较基础. 12.(5分)奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=( )A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.1 【考点】3K:函数奇偶性的性质与判断.菁优网版权所有【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据函数的奇偶性的性质,得到f(x+8)=

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