2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）（含解析版）

线交于、两点，若△的周长为，则的方程为（ ）2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）lCABAF1B4C一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=11．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面（ ）积为（ ）A．2B．3C．5D．7A．B．16πC．9πD．2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）A．B．C．﹣D．﹣11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则3．（5分）不等式组的解集为（ ）C的焦距等于（ ）A．2B．2C．4D．4A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1}（ ）4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为A．﹣2B．﹣1C．0D．1（ ）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分)A．B．C．D．13．（5分）（x﹣2）6的展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）5．（5分）函数y=ln（+1）（x＞﹣1）的反函数是（ ）14．（5分）函数y=cos2x+2sinx的最大值是 ．A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1）B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1）．（分）设，满足约束条件，则+的最大值为 ．C．y=（1﹣ex）3（x∈R）D．y=（ex﹣1）3（x∈R）155xyz=x4y6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（ ）2216．（5分）直线l1和l2是圆x+y=2的两条切线，若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角A．﹣1B．0C．1D．2的正切值等于 ．7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，三、解答题则不同的选法共有（ ）17．（10分）数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=2an+1﹣an+2．A．60种B．70种C．75种D．150种（Ⅰ）设bn=an+1﹣an，证明{bn}是等差数列；8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ）（Ⅱ）求{an}的通项公式．A．31B．32C．63D．649．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直第1页（共12页）18．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知3acosC=2ccosA，tanA=，求20．（12分）设每个工作日甲，乙，丙，丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6，0.5，0.5，B．0.4，各人是否需使用设备相互独立．（Ⅰ）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（Ⅱ）实验室计划购买k台设备供甲，乙，丙，丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1，求k的最小值．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（Ⅰ）证明：AC1⊥A1B；（Ⅱ）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．第2页（共12页）21．（12分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）．22．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与C的交（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；点为Q，且|QF|=|PQ|．（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）是增函数，求a的取值范围．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程． 第3页（共12页） 2014年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）3．（5分）不等式组的解集为（ ）参考答案与试题解析A．{x|﹣2＜x＜﹣1}B．{x|﹣1＜x＜0}C．{x|0＜x＜1}D．{x|x＞1} 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）【考点】7E：其他不等式的解法．菁优网版权所有1．（5分）设集合M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}，则M∩N中元素的个数为【专题】59：不等式的解法及应用．（ ）【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交A．2B．3C．5D．7集，即得所求．【考点】1A：集合中元素个数的最值；1E：交集及其运算．菁优网版权所有【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，【专题】5J：集合．故选：C．【分析】根据M与N，找出两集合的交集，找出交集中的元素即可．【点评】本题主要考查一元二次不等式、绝对值不等式的解法，属于基础题．【解答】解：∵M={1，2，4，6，8}，N={1，2，3，5，6，7}， ∴M∩N={1，2，6}，即M∩N中元素的个数为3．4．（5分）已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为故选：B．（ ）【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．．．．． ABCD2．（5分）已知角α的终边经过点（﹣4，3），则cosα=（ ）A．B．C．﹣D．﹣【考点】LM：异面直线及其所成的角．菁优网版权所有【专题】5G：空间角．【分析】由E为AB的中点，可取AD中点F，连接EF，则∠CEF为异面直线CE与BD所成角，设【考点】G9：任意角的三角函数的定义．菁优网版权所有出正四面体的棱长，求出△CEF的三边长，然后利用余弦定理求解异面直线CE与BD所成角的【专题】56：三角函数的求值．余弦值．【分析】由条件直接利用任意角的三角函数的定义求得cosα的值．【解答】解：如图，【解答】解：∵角α的终边经过点（﹣4，3），∴x=﹣4，y=3，r==5．取AD中点F，连接EF，CF，∴cosα===﹣，∵E为AB的中点，故选：D．∴EF∥DB，【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，属于基础题．则∠CEF为异面直线BD与CE所成的角，第4页（共12页）∵ABCD为正四面体，E，F分别为AB，AD的中点，故选：D．∴CE=CF．【点评】本题考查反函数解析式的求解，属基础题．设正四面体的棱长为2a， 则，EF=a6．（5分）已知，为单位向量，其夹角为60°，则（2﹣）•=（ ）CE=CF=．A．﹣1B．0C．1D．2在△CEF中，由余弦定理得：【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有=．【专题】5A：平面向量及应用．故选：B．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得、的值，可得（2﹣）•的值．【解答】解：由题意可得，=1×1×cos60°=，=1，∴（2﹣）•=2﹣=0，故选：B．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，属于基础题．【点评】本题考查异面直线及其所成的角，关键是找角，考查了余弦定理的应用，是中档题． 7．（5分）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，．（分）函数（+）（＞）的反函数是（ ）55y=ln1x﹣1则不同的选法共有（ ）A．y=（1﹣ex）3（x＞﹣1）B．y=（ex﹣1）3（x＞﹣1）A．60种B．70种C．75种D．150种C．y=（1﹣ex）3（x∈R）D．y=（ex﹣1）3（x∈R）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．菁优网版权所有【考点】4R：反函数．菁优网版权所有【专题】5O：排列组合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据题意，分2步分析，先从6名男医生中选2人，再从5名女医生中选出1人，由组【分析】由已知式子解出x，然后互换x、y的位置即可得到反函数．合数公式依次求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案．2【解答】解：∵y=ln（+1），【解答】解：根据题意，先从6名男医生中选2人，有C6=15种选法，1再从5名女医生中选出1人，有C5=5种选法，∴+1=ey，即=ey﹣1，则不同的选法共有15×5=75种；∴x=（ey﹣1）3，故选：C．∴所求反函数为y=（ex﹣1）3，【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．第5页（共12页） ∴4a=4，8．（5分）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=（ ）∴a=，A．31B．32C．63D．64∵离心率为，∴，c=1，【考点】89：等比数列的前n项和．菁优网版权所有∴b==，【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．∴椭圆C的方程为+=1．24【解答】解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q，所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，故选：A．即3，12，S6﹣15成等比数列，【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础2可得12=3（S6﹣15），题．解得S6=63 故选：C．10．（5分）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面【点评】本题考查等比数列的性质，得出S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列是解决问题的关键，属基础积为（ ）题．A．B．16πC．9πD． 【考点】：球的体积和表面积；：球内接多面体．菁优网版权所有9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直LGLR【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（ ）【分析】正四棱锥P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，记为O，求出PO1，OO1，解出球的A．+=1B．+y2=1C．+=1D．+=1半径，求出球的表面积．【解答】解：设球的半径为R，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，【考点】K4：椭圆的性质．菁优网版权所有∴R2=（4﹣R）2+（）2，【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．∴R=，【分析】利用△AF1B的周长为4，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即可得出∴球的表面积为4π•（）2=．椭圆的方程．故选：A．【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，第6页（共12页）建立方程组是解决本题的关键，比较基础． 12．（5分）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（8）+f（9）=（ ）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题． 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．菁优网版权所有11．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性的性质，得到f（x+8）=f（x），即可得到结论．C的焦距等于（ ）【解答】解：∵f（x+2）为偶函数，f（x）是奇函数，A．2B．2C．4D．4∴设g（x）=f（x+2），则g（﹣x）=g（x），【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有即f（﹣x+2）=f（x+2），【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．∵f（x）是奇函数，【分析】根据双曲线的离心率以及焦点到直线的距离公式，建立方程组即可得到结论．∴f（﹣x+2）=f（x+2）=﹣f（x﹣2），【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，即f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=f（x+4+4）=﹣f（x+4）=f（x），则f（8）=f（0）=0，f（9）=f（