2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 24页 · 2 M

2013年全国统一高考数学试卷理科)(大纲版)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.62.(5分)=( )A.﹣8B.8C.﹣8iD.8i3.(5分)已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(﹣),则λ=( )A.﹣4B.﹣3C.﹣2D.﹣14.(5分)已知函数f(x)的定义域为(﹣1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( )A.(﹣1,1)B.C.(﹣1,0)D.﹣15.(5分)函数f(x)=log2(1+)(x>0)的反函数f(x)=( )A.B.C.2x﹣1(x∈R)D.2x﹣1(x>0)6.(5分)已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=﹣,则{an}的前10项和等于( )A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)7.(5分)(1+x)3(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( )A.5B.8C.12D.188.(5分)椭圆C:的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是( )A.B.C.D.第1页(共24页)9.(5分)若函数f(x)=x2+ax+是增函数,则a的取值范围是( )A.[﹣1,0]B.[﹣1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)10.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A.B.C.D.11.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(﹣2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k=( )A.B.C.D.212.(5分)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中不正确的是( )A.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称B.C.D.f(x)既是奇函数,又是周期函数 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)已知α是第三象限角,sinα=﹣,则cotα= .14.(5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作答)15.(5分)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是 .16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第2页(共24页)217.(10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项式.18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a+b+c)(a﹣b+c)=ac.(Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC=,求C.19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.(Ⅰ)证明:PB⊥CD;(Ⅱ)求二面角A﹣PD﹣C的大小.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率;(Ⅱ)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.第3页(共24页)21.(12分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b;(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.22.(12分)已知函数.(I)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;(II)设数列{an}的通项an=1+. 第4页(共24页)2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.6【考点】13:集合的确定性、互异性、无序性;1A:集合中元素个数的最值.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】利用已知条件,直接求出a+b,利用集合元素互异求出M中元素的个数即可.【解答】解:因为集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},所以a+b的值可能为:1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8,所以M中元素只有:5,6,7,8.共4个.故选:B.【点评】本题考查集合中元素个数的最值,集合中元素的互异性的应用,考查计算能力. 2.(5分)=( )A.﹣8B.8C.﹣8iD.8i【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【分析】复数分子、分母同乘﹣8,利用1的立方虚根的性质(),化简即可.第5页(共24页)【解答】解:故选:A.【点评】复数代数形式的运算,是基础题. 3.(5分)已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(﹣),则λ=( )A.﹣4B.﹣3C.﹣2D.﹣1【考点】9T:数量积判断两个平面向量的垂直关系.菁优网版权所有【专题】5A:平面向量及应用.【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解:∵,.∴=(2λ+3,3),.∵,∴=0,∴﹣(2λ+3)﹣3=0,解得λ=﹣3.故选:B.【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键. 4.(5分)已知函数f(x)的定义域为(﹣1,0),则函数f(2x+1)的定义域为( )A.(﹣1,1)B.C.(﹣1,0)D.【考点】33:函数的定义域及其求法.菁优网版权所有【专题】51:函数的性质及应用.【分析】原函数的定义域,即为2x+1的范围,解不等式组即可得解.第6页(共24页)【解答】解:∵原函数的定义域为(﹣1,0),∴﹣1<2x+1<0,解得﹣1<x<﹣.∴则函数f(2x+1)的定义域为.故选:B.【点评】考查复合函数的定义域的求法,注意变量范围的转化,属简单题. ﹣15.(5分)函数f(x)=log2(1+)(x>0)的反函数f(x)=( )A.B.C.2x﹣1(x∈R)D.2x﹣1(x>0)【考点】4R:反函数.菁优网版权所有【专题】51:函数的性质及应用.【分析】把y看作常数,求出x:x=,x,y互换,得到y=log2(1+)的反函数.注意反函数的定义域.【解答】解:设y=log2(1+),把y看作常数,求出x:1+=2y,x=,其中y>0,x,y互换,得到y=log2(1+)的反函数:y=,故选:A.【点评】本题考查对数函数的反函数的求法,解题时要认真审题,注意对数式和指数式的相互转化. 6.(5分)已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=﹣,则{an}的前10项和等于( )A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)第7页(共24页)【考点】89:等比数列的前n项和.菁优网版权所有【专题】11:计算题;54:等差数列与等比数列.【分析】由已知可知,数列{an}是以﹣为公比的等比数列,结合已知可求a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解:∵3an+1+an=0∴∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4﹣10由等比数列的求和公式可得,S10==3(1﹣3)故选:C.【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题 7.(5分)(1+x)3(1+y)4的展开式中x2y2的系数是( )A.5B.8C.12D.18【考点】DA:二项式定理.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项,令x的指数为2,写出出展开式中x2的系数,第二个因式y2的系数,即可得到结果.3rr【解答】解:(x+1)的展开式的通项为Tr+1=C3x22令r=2得到展开式中x的系数是C3=3,4rr(1+y)的展开式的通项为Tr+1=C4y22令r=2得到展开式中y的系数是C4=6,第8页(共24页)(1+x)3(1+y)4的展开式中x2y2的系数是:3×6=18,故选:D.【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,本题解题的关键是写出二项式的展开式,所有的这类问题都是利用通项来解决的. 8.(5分)椭圆C:的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是( )A.B.C.D.【考点】I3:直线的斜率;KH:直线与圆锥曲线的综合.菁优网版权所有【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由椭圆C:可知其左顶点A1(﹣2,0),右顶点A2(2,0).设P(x0,y0)(x0≠±2),代入椭圆方程可得.利用斜率计算公式可得,再利用已知给出的的范围即可解出.【解答】解:由椭圆C:可知其左顶点A1(﹣2,0),右顶点A2(2,0).设P(x0,y0)(x0≠±2),则,得.∵=,=,∴==,第9页(共24页)∵,∴,解得.故选:B.【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、斜率的计算公式、不等式的性质等是解题的关键. 9.(5分)若函数f(x)=x2+ax+是增函数,则a的取值范围是( )A.[﹣1,0]B.[﹣1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有【专题】53:导数的综合应用.【分析】由函数在(,+∞)上是增函数,可得≥0在(,+∞)上恒成立,进而可转化为a≥﹣2x在(,+∞)上恒成立,构造函数求出﹣2x在(,+∞)上的最值,可得a的取值范围.【解答】解:∵在(,+∞)上是增函数,故≥0在(,+∞)上恒成立,即a≥﹣2x在(,+∞)上恒成立,令h(x)=﹣2x,则h′(x)=﹣﹣2,当x∈(,+∞)时,h′(x)<0,则h(x)为减函数.∴h(x)<h()=3∴a≥3.第10页(共24页)故选:D.【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性,恒成立问题,是导数的综合应用,难度中档. 10.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A.B.C.D.【考点】MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有【专题】15:综合题;16:压轴题;5G:空间角;5H:空间向量及应用.【分析】设AB=1,则AA1=2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设=(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ=||,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可.【解答】解:设AB=1,则AA1=2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示:则D(0,0,2),C1(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),=(1,1,0),=(1,0,﹣2),=(1,0,0),设=(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则,即,取第11页(共24页)=(2,﹣2,1),设CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ=||=,故选:A.【点评】本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键. 11.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(﹣2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k=( )A.B.C.D.2【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算;K8:抛物线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【

VIP会员专享最低仅需0.2元/天

VIP会员免费下载,付费最高可省50%

开通VIP

导出为Word

图片预览模式

文字预览模式
版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报
预览说明:图片预览排版和原文档一致,但图片尺寸过小时会导致预览不清晰,文字预览已重新排版并隐藏图片
相关精选
查看更多
更多推荐