2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)复数=( )A.2+iB.2﹣iC.1+2iD.1﹣2i2.(5分)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m的值为( )A.0或B.0或3C.1或D.1或33.(5分)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=﹣4,则该椭圆的方程为( )A.B.C.D.4.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )A.2B.C.D.15.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为( )A.B.C.D.6.(5分)△ABC中,AB边的高为CD,若=,=,•=0,||=1,||=2,则=( )A.B.C.D.7.(5分)已知α为第二象限角,,则cos2α=( )A.﹣B.﹣C.D.228.(5分)已知F1、F2为双曲线C:x﹣y=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )A.B.C.D.第1页(共25页)9.(5分)已知x=lnπ,y=log52,,则( )A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x10.(5分)已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=( )A.﹣2或2B.﹣9或3C.﹣1或1D.﹣3或111.(5分)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有( )A.12种B.18种C.24种D.36种12.(5分)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,,动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为( )A.16B.14C.12D.10 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上.(注意:在试题卷上作答无效)13.(5分)若x,y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为 .14.(5分)当函数y=sinx﹣cosx(0≤x<2π)取得最大值时,x= .15.(5分)若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中的系数为 .16.(5分)三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 . 三.解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(10分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知cos(A﹣C)第2页(共25页)+cosB=1,a=2c,求C.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,,PA=2,E是PC上的一点,PE=2EC.(Ⅰ)证明:PC⊥平面BED;(Ⅱ)设二面角A﹣PB﹣C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.19.(12分)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.(Ⅰ)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;(Ⅱ)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.第3页(共25页)20.(12分)设函数f(x)=ax+cosx,x∈[0,π].(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设f(x)≤1+sinx,求a的取值范围.21.(12分)已知抛物线C:y=(x+1)2与圆(r>0)有一个公共点A,且在A处两曲线的切线为同一直线l.(Ⅰ)求r;(Ⅱ)设m,n是异于l且与C及M都相切的两条直线,m,n的交点为D,求D到l的距离.222.(12分)函数f(x)=x﹣2x﹣3,定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标.(Ⅰ)证明:2≤xn<xn+1<3;(Ⅱ)求数列{xn}的通项公式. 第4页(共25页)2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)参考答案与试题解析 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.(5分)复数=( )A.2+iB.2﹣iC.1+2iD.1﹣2i【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数,得,由此利用复数的代数形式的乘除运算,能求出结果.【解答】解:===1+2i.故选:C.【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 2.(5分)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m的值为( )A.0或B.0或3C.1或D.1或3【考点】1C:集合关系中的参数取值问题.菁优网版权所有【专题】5J:集合.【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A,由此判断出参数m可能的取值,再进行验证即可得出答案选出正确选项.第5页(共25页)【解答】解:由题意A∪B=A,即B⊆A,又,B={1,m},∴m=3或m=,解得m=3或m=0及m=1,验证知,m=1不满足集合的互异性,故m=0或m=3即为所求,故选:B.【点评】本题考查集合中参数取值问题,解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A,再由集合的包含关系得出参数所可能的取值. 3.(5分)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x=﹣4,则该椭圆的方程为( )A.B.C.D.【考点】K3:椭圆的标准方程;K4:椭圆的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】确定椭圆的焦点在x轴上,根据焦距为4,一条准线为x=﹣4,求出几何量,即可求得椭圆的方程.【解答】解:由题意,椭圆的焦点在x轴上,且∴c=2,a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆的方程为故选:C.【点评】本题考查椭圆的标准方程,考查椭圆的几何性质,属于基础题. 4.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=2,CC1=2,E为CC1的中点,则直线AC1与平面BED的距离为( )A.2B.C.D.1第6页(共25页)【考点】MI:直线与平面所成的角.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE,再将线面距离转化为点面距离,最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解:如图:连接AC,交BD于O,在三角形CC1A中,易证OE∥C1A,从而C1A∥平面BDE,∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离,设为h,在三棱锥E﹣ABD中,VE﹣ABD=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱锥A﹣BDE中,BD=2,BE=,DE=,∴S△EBD=×2×=2∴VA﹣BDE=×S△EBD×h=×2×h=∴h=1故选:D.【点评】本题主要考查了线面平行的判定,线面距离与点面距离的转化,三棱锥的体积计算方法,等体积法求点面距离的技巧,属基础题 5.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和为( )A.B.C.D.【考点】85:等差数列的前n项和;8E:数列的求和.菁优网版权所有【专题】11:计算题.第7页(共25页)【分析】由等差数列的通项公式及求和公式,结合已知可求a1,d,进而可求an,代入可得==,裂项可求和【解答】解:设等差数列的公差为d由题意可得,解方程可得,d=1,a1=1由等差数列的通项公式可得,an=a1+(n﹣1)d=1+(n﹣1)×1=n∴===1﹣=故选:A.【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用,及数列求和的裂项求和方法的应用,属于基础试题 6.(5分)△ABC中,AB边的高为CD,若=,=,•=0,||=1,||=2,则=( )A.B.C.D.【考点】9Y:平面向量的综合题.菁优网版权所有【分析】由题意可得,CA⊥CB,CD⊥AB,由射影定理可得,AC2=AD•AB可求AD,进而可求,从而可求与的关系,进而可求【解答】解:∵•=0,∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1,||=2∴AB=第8页(共25页)由射影定理可得,AC2=AD•AB∴∴∴==故选:D.【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用,向量的基本运算的应用,向量的数量积的性质的应用. 7.(5分)已知α为第二象限角,,则cos2α=( )A.﹣B.﹣C.D.【考点】GG:同角三角函数间的基本关系;GS:二倍角的三角函数.菁优网版权所有【专题】56:三角函数的求值.【分析】由α为第二象限角,可知sinα>0,cosα<0,从而可求得sinα﹣cosα=,利用cos2α=﹣(sinα﹣cosα)(sinα+cosα)可求得cos2α【解答】解:∵sinα+cosα=,两边平方得:1+sin2α=,∴sin2α=﹣,①∴(sinα﹣cosα)2=1﹣sin2α=,∵α为第二象限角,∴sinα>0,cosα<0,∴sinα﹣cosα=,②∴cos2α=﹣(sinα﹣cosα)(sinα+cosα)第9页(共25页)=(﹣)×=﹣.故选:A.【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系,突出二倍角的正弦与余弦的应用,求得sinα﹣cosα=是关键,属于中档题. 228.(5分)已知F1、F2为双曲线C:x﹣y=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2=( )A.B.C.D.【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】根据双曲线的定义,结合|PF1|=2|PF2|,利用余弦定理,即可求cos∠F1PF2的值.【解答】解:将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1,则a=,b=,c=2,设|PF1|=2|PF2|=2m,则根据双曲线的定义,|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2,∴|PF1|=4,|PF2|=2,∵|F1F2|=2c=4,∴cos∠F1PF2====.故选:C.【点评】本题考查双曲线的性质,考查双曲线的定义,考查余弦定理的运用,属于中档题. 9.(5分)已知x=lnπ,y=log52,,则( )A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x第10页(共25页)【考点】72:不等式比较大小.菁优网版权所有【专题】11:计算题;16:压轴题.【分析】利用x=lnπ>1,0<y=log52<,1>z=>,即可得到答案.【解答】解:∵x=lnπ>lne=1,0<log52<log5=,即y∈(0,);1=e0>=>=,即z∈(,1),∴y<z<x.故选:D.【点评】本题考查不等式比较大小,掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键,属于基础题. 10.(5分)已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=( )A.﹣2或2B.﹣9或3C.﹣1或1D.﹣3或1【考点】53:函数的零点与方程根的关系;6D:利用导数研究函数的极值.菁优网版权所有【专题】11:计算题.【分析】求导函数,确定函数的单调性,确定函数的极值点,利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,可得极大值等于0或极小值等于0,由此可求c的值.【解答】解:求导函数可得y′=3(x+1)(x﹣1),令y′>0,可得x>1或x<﹣1;令y′<0,可得﹣1<x<1;∴函数在(﹣∞,﹣1),(1,+∞)上单调增,(﹣1,1)上单调减,∴函数在x=﹣1处取得极大值,在x=1处取得极小值.∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,∴极大值等于0或极小值等于0.第11页(共25页)∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0,∴c=﹣2或2.故选:A.【点评】本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与
2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)(含解析版)
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