2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)

2023-10-27 · U3 上传 · 29页 · 2.2 M

2018年全国统一高考数学试卷理科)(新课标Ⅱ)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)=( )A.iB.C.D.2.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.43.(5分)函数f(x)=的图象大致为( )A.B.C.D.4.(5分)已知向量,满足||=1,=﹣1,则•(2)=( )A.4B.3C.2D.05.(5分)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x6.(5分)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( )第1页(共29页)A.4B.C.D.27.(5分)为计算S=1﹣+﹣+…+﹣,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( )A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+48.(5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A.B.C.D.9.(5分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.10.(5分)若f(x)=cosx﹣sinx在[﹣a,a]是减函数,则a的最大值是( )A.B.C.D.π11.(5分)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( )第2页(共29页)A.﹣50B.0C.2D.5012.(5分)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )A.B.C.D. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.(5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .14.(5分)若x,y满足约束条件,则z=x+y的最大值为 .15.(5分)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)= .16.(5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为,SA与圆锥底面所成角为45°,若△SAB的面积为5,则该圆锥的侧面积为 . 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根要求作答。(一)必考题:共60分。17.(12分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a1=﹣7,S3=﹣15.(1)求{an}的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.第3页(共29页)18.(12分)如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:=﹣30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.第4页(共29页)19.(12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.20.(12分)如图,在三棱锥P﹣ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO⊥平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且二面角M﹣PA﹣C为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣ax2.(1)若a=1,证明:当x≥0时,f(x)≥1;(2)若f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求a.第5页(共29页) (二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。[选修4-4:坐标系与参数方程]22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为,(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. [选修4-5:不等式选讲]23.设函数f(x)=5﹣|x+a|﹣|x﹣2|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围. 第6页(共29页)2018年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.(5分)=( )A.iB.C.D.【考点】A5:复数的运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;5N:数系的扩充和复数.【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【解答】解:==+.故选:D.【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算,是基本知识的考查. 2.(5分)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为( )A.9B.8C.5D.4【考点】1A:集合中元素个数的最值.菁优网版权所有【专题】32:分类讨论;4O:定义法;5J:集合.【分析】分别令x=﹣1,0,1,进行求解即可.【解答】解:当x=﹣1时,y2≤2,得y=﹣1,0,1,当x=0时,y2≤3,得y=﹣1,0,1,当x=1时,y2≤2,得y=﹣1,0,1,即集合A中元素有9个,故选:A.第7页(共29页)【点评】本题主要考查集合元素个数的判断,利用分类讨论的思想是解决本题的关键. 3.(5分)函数f(x)=的图象大致为( )A.B.C.D.【考点】3A:函数的图象与图象的变换;6B:利用导数研究函数的单调性.菁优网版权所有【专题】33:函数思想;4R:转化法;51:函数的性质及应用.【分析】判断函数的奇偶性,利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可.【解答】解:函数f(﹣x)==﹣=﹣f(x),则函数f(x)为奇函数,图象关于原点对称,排除A,当x=1时,f(1)=e﹣>0,排除D.当x→+∞时,f(x)→+∞,排除C,故选:B.【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断,利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键.第8页(共29页) 4.(5分)已知向量,满足||=1,=﹣1,则•(2)=( )A.4B.3C.2D.0【考点】91:向量的概念与向量的模;9O:平面向量数量积的性质及其运算.菁优网版权所有【专题】11:计算题;38:对应思想;4O:定义法;5A:平面向量及应用.【分析】根据向量的数量积公式计算即可.【解答】解:向量,满足||=1,=﹣1,则•(2)=2﹣=2+1=3,故选:B.【点评】本题考查了向量的数量积公式,属于基础题 5.(5分)双曲线=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x【考点】KC:双曲线的性质.菁优网版权所有【专题】35:转化思想;4O:定义法;5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】根据双曲线离心率的定义求出a,c的关系,结合双曲线a,b,c的关系进行求解即可.【解答】解:∵双曲线的离心率为e==,则=====,即双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故选:A.【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解,结合双曲线离心率的定义以及渐第9页(共29页)近线的方程是解决本题的关键. 6.(5分)在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=( )A.4B.C.D.2【考点】HR:余弦定理.菁优网版权所有【专题】11:计算题;35:转化思想;49:综合法;58:解三角形.【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值,利用余弦定理转化求解即可.【解答】解:在△ABC中,cos=,cosC=2×=﹣,BC=1,AC=5,则AB====4.故选:A.【点评】本题考查余弦定理的应用,考查三角形的解法以及计算能力. 7.(5分)为计算S=1﹣+﹣+…+﹣,设计了如图的程序框图,则在空白框中应填入( )A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4第10页(共29页)【考点】E7:循环结构;EH:绘制程序框图解决问题.菁优网版权所有【专题】38:对应思想;4B:试验法;5K:算法和程序框图.【分析】模拟程序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T,由此知空白处应填入的条件.【解答】解:模拟程序框图的运行过程知,该程序运行后输出的是S=N﹣T=(1﹣)+(﹣)+…+(﹣);累加步长是2,则在空白处应填入i=i+2.故选:B.【点评】本题考查了循环程序的应用问题,是基础题. 8.(5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是( )A.B.C.D.【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有【专题】36:整体思想;4O:定义法;5I:概率与统计.【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数,利用古典概型的概率公式进行计算即可.【解答】解:在不超过30的素数中有,2,3,5,7,11,13,17,19,23,29共10个,从中选2个不同的数有=45种,和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3种,则对应的概率P==,故选:C.【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算,求出不超过30的素数是解决第11页(共29页)本题的关键. 9.(5分)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A.B.C.D.【考点】LM:异面直线及其所成的角.菁优网版权所有【专题】11:计算题;31:数形结合;41:向量法;5G:空间角.【分析】以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值.【解答】解:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=,∴A(1,0,0),D1(0,0,),D(0,0,0),B1(1,1,),=(﹣1,0,),=(1,1,),设异面直线AD1与DB1所成角为θ,则cosθ===,∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选:C.第12页(共29页)【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题. 10.(5分)若f(x)=cosx﹣sinx在[﹣a,a]是减函数,则a的最大值是( )A.B.C.D.π【考点】GP:两角和与差的三角函数;H5:正弦函数的单调性.菁优网版权所有【专题】33:函数思想;4R:转化法;56:三角函数的求值.【分析】利用两角和差的正弦公式化简f(x),由,k∈Z,得,k∈Z,取k=0,得f(x)的一个减区间为[,],结合已知条件即可求出a的最大值.【解答】解:f(x)=cosx﹣sinx=﹣(sinx﹣cosx)=,由,k∈Z,得,k∈Z,取k=0,得f(x)的一个减区间为[,],由f(x)在[﹣a,a]是减函数,第13页(共29页)得,∴.则a的最大值是.故选:A.【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用,三角函数的求值

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