2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.开始输出n结束(第3题)NY1.已知集合A={},,则▲.2.已知复数(i为虚数单位),则的实部为▲.3.右图是一个算法流程图,则输出的的值是▲.4.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是▲.5.已知函数与(0≤),zxxk它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是▲.6.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有▲株树木的底部周长小于100cm.10080901101201300.0100.0150.0200.0250.030底部周长/cm(第6题)7.在各项均为正数的等比数列中,,则的值是▲.8.设甲、乙两个圆柱的底面分别为,,体积分别为,,若它们的侧面积相等,且,则的值是▲.9.在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为▲.10.已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是▲.11.在平面直角坐标系中,若曲线(a,b为常数)zxxk过点,且该曲线在点P处的切线与直线平行,则的值是▲.ABDCP(第12题)12.如图,在平行四边形中,已知,,,,则的值是▲.13.已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是▲.14.若△的内角满足,则的最小值是▲.二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,学科网解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知,.(1)求的值;(2)求的值.16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,,E,F分zxxk别为棱的中点.已知,求证:(1)直线平面;(2)平面平面.17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点,顶点的坐标为,连结并延长交椭圆于点A,过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C,连结.F1F2OxyBCA(第17题)(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程;(2)若求椭圆离心率e的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形学科网保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.(1)求新桥BC的长;(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?170m60m东北OABMC(第18题)19.(本小题满分16分)已知函数,其中e是自然对数的底数.(1)证明:是R上的偶函数;(2)若关于的不等式≤在上恒成立,学科网求实数的取值范围;(3)已知正数满足:存在,使得成立.试比较与的大小,并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列的前项和为.若对任意正整数,学科网总存在正整数,使得,则称是“H数列”.(1)若数列的前n项和(N),证明:是“H数列”;(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“H数列”,求的值;(3)证明:对任意的等差数列,总存在两个“H数列”和,使得(N)成立.三、附加题(本大题包括选做题和必做题两部分)(一)选择题(本题包括21、22、23、24四小题,请选定其中两个小题作答,若多做,则按作答的前两个小题评分)【选修4-1:几何证明选讲】21.(10分)(2014•江苏)如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上位于AB异侧的两点,证明:∠OCB=∠D. 【选修4-2:矩阵与变换】22.(10分)(2014•江苏)已知矩阵A=,B=,向量=,x,y为实数,若A=B,求x+y的值. 【选修4-3:极坐标及参数方程】23.(2014•江苏)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为(t为参数),直线l与抛物线y2=4x相交于A,B两点,求线段AB的长. 【选修4-4:不等式选讲】24.(2014•江苏)已知x>0,y>0,证明(1+x+y2)(1+x2+y)≥9xy. (二)必做题(本部分包括25、26两题,每题10分,共计20分)25.(10分)(2014•江苏)盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x1,x2,x3,随机变量X表示x1,x2,x3中的最大数,求X的概率分布和数学期望E(X). 26.(10分)(2014•江苏)已知函数f0(x)=(x>0),设fn(x)为fn﹣1(x)的导数,n∈N*.(1)求2f1()+f2()的值;(2)证明:对任意n∈N*,等式|nfn﹣1()+fn()|=都成立.2014年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分)1.(5分)(2014•江苏)已知集合A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3},则A∩B= {﹣1,3} .考点:交集及其运算.菁优网版权所有专题:集合.分析:根据集合的基本运算即可得到结论.解答:解:∵A={﹣2,﹣1,3,4},B={﹣1,2,3},∴A∩B={﹣1,3},故答案为:{﹣1,3}点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2.(5分)(2014•江苏)已知复数z=(5+2i)2(i为虚数单位),则z的实部为 21 .考点:复数的基本概念;复数代数形式的乘除运算.菁优网版权所有专题:数系的扩充和复数.分析:根据复数的有关概念,即可得到结论.解答:解:z=(5+2i)2=25+20i+4i2=25﹣4+20i=21+20i,故z的实部为21,故答案为:21点评:本题主要考查复数的有关概念,利用复数的基本运算是解决本题的关键,比较基础. 3.(5分)(2014•江苏)如图是一个算法流程图,则输出的n的值是 5 .考点:程序框图.菁优网版权所有专题:算法和程序框图.分析:算法的功能是求满足2n>20的最小的正整数n的值,代入正整数n验证可得答案.解答:解:由程序框图知:算法的功能是求满足2n>20的最小的正整数n的值,∵24=16<20,25=32>20,∴输出n=5.故答案为:5.点评:本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键. 4.(5分)(2014•江苏)从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 .考点:古典概型及其概率计算公式.菁优网版权所有专题:概率与统计.分析:首先列举并求出“从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数”的基本事件的个数再从中找到满足“所取2个数的乘积为6”的事件的个数,利用概率公式计算即可.解答:解:从1,2,3,6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有(1,2),(1,3),(1,6),(2,3),(2,6),(3,6)共6个,所取2个数的乘积为6的基本事件有(1,6),(2,3)共2个,故所求概率P=.故答案为:.点评:本题主要考查了古典概型的概率公式的应用,关键是一一列举出所有的基本事件. 5.(5分)(2014•江苏)已知函数y=cosx与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为的交点,则φ的值是 .考点:三角方程;函数的零点.菁优网版权所有专题:三角函数的求值;三角函数的图像与性质.分析:由于函数y=cosx与y=sin(2x+φ),它们的图象有一个横坐标为的交点,可得=.根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出.解答:解:∵函数y=cosx与y=sin(2x+φ),它们的图象有一个横坐标为的交点,∴=.∵0≤φ<π,∴,∴+φ=,解得φ=.故答案为:.点评:本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值,属于基础题. 6.(5分)(2014•江苏)为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 24 株树木的底部周长小于100cm.考点:频率分布直方图.菁优网版权所有专题:概率与统计.分析:根据频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距底部求出周长小于100cm的频率,再根据频数=样本容量×频率求出底部周长小于100cm的频数.解答:解:由频率分布直方图知:底部周长小于100cm的频率为(0.015+0.025)×10=0.4,∴底部周长小于100cm的频数为60×0.4=24(株).故答案为:24.点评:本题考查了频率分布直方图,在频率分布直方图中频率=小矩形的面积=小矩形的高×组距=. 7.(5分)(2014•江苏)在各项均为正数的等比数列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是 4 .考点:等比数列的通项公式.菁优网版权所有专题:等差数列与等比数列.分析:利用等比数列的通项公式即可得出.解答:解:设等比数列{an}的公比为q>0,a1>0.∵a8=a6+2a4,∴,化为q4﹣q2﹣2=0,解得q2=2.∴a6===1×22=4.故答案为:4.点评:本题考查了等比数列的通项公式,属于基础题. 8.(5分)(2014•江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等,且=,则的值是 .考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;旋转体(圆柱、圆锥、圆台).菁优网版权所有专题:立体几何.分析:设出两个圆柱的底面半径与高,通过侧面积相等,推出高的比,然后求解体积的比.解答:解:设两个圆柱的底面半径分别为R,r;高分别为H,h;∵=,∴,它们的侧面积相等,∴,∴===.故答案为:.点评:本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用,是基础题目. 9.(5分)(2014•江苏)在平面直角坐标系xOy中,直线x+2y﹣3=0被圆(x﹣2)2+(y+1)2=4截得的弦长为 .考点:直线与圆的位置关系.菁优网版权所有专题:直线与圆.分析:求出已知圆的圆心为C(2,﹣1),半径r=2.利用点到直线的距离公式,算出点C到直线直线l的距离d,由垂径定理加以计算,可得直线x+2y﹣3=0被圆截得的弦长.解答:解:圆(x﹣2)2+(y+1)2=4的圆心为C(2,﹣1),半径r=2,∵点C到直线直线x+2y﹣3=0的距离d==,∴根据垂径定理,得直线x+2y﹣3=0被圆(x﹣2)2+(y+1)2=4截得的弦长为2=2=故答案为:.点评:本题给出直线与圆的方程,求直线被圆截得的弦长,着重考查点到直线的距离公式、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识,属于基础题. 10.(5分)(2014•江苏)已知函数f(x)=x2+mx﹣1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是 (﹣,0) .考点:二次函数的性质.菁优网版权所有专题:函数的性质及应用.分析:由条件利用二次函数的性质可得,由此求得m的范围.解答:解:∵二次函数f(x)=x2+mx﹣1的图象开口向上,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,∴,即,解得﹣<m<0,故答案为:(﹣,0).点评:本题主要考查二次函数的性质应用,体现了转化的数学思想,属于基础题. 11.(5分)(2014•江苏)在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+(a,b为常数)过点P(2,﹣5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 ﹣3 .考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.菁优网版权所有专题:导数的概念及应用.分析:由曲线
2014年江苏高考数学试题及答案
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