2013年江苏高考数学试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考公式：样本数据的方差，其中。棱锥的体积公式：，其中是锥体的底面积，为高。棱柱的体积公式：，其中是柱体的底面积，为高。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。1、函数的最小正周期为▲。2、设(为虚数单位)，则复数的模为▲。3、双曲线的两条渐近线的方程为▲。4、集合{-1，0，1}共有▲个子集。5、右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是▲。6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下： 运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为▲。7、现有某类病毒记作为，其中正整数可以任意选取，则都取到奇数的概率为▲。8、如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D、E、F分别为AB、AC、AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为，则：=▲。9、抛物线在处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部与边界)。若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则的取值范围是▲。10、设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且。若(、均为实数)，则+的值为▲。11、已知是定义在R上的奇函数。当时，，则不等式的解集用区间表示为▲。12、在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的方程为，右焦点为F，右准线为，短轴的一个端点为B。设原点到直线BF的距离为，F到的距离为。若，则椭圆C的离心率为▲。13、在平面直角坐标系xoy中，设定点A(a,a)，P是函数图象上的一动点。若点P、A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为=▲。14、在正项等比数列中，，则满足的最大正整数n的值为▲。二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、（本小题满分14分）已知向量。（1）若，求证：；（2）设，若，求的值。16、（本小题满分14分）如图，在三棱锥S-ABC中，平面平面SBC,，AS=AB。过A作，垂足为F，点E、G分别为线段SA、SC的中点。求证：（1）平面EFG//平面ABC；（2）。17、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy中，点A(0,3)，直线，设圆C的半径为1，圆心在直线上。（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标的取值范围。18、（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C。现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50米/分钟。在甲出发2分钟后，乙从A乘坐缆车到B，在B处停留1分钟后，再从B匀速步行到C。假设缆车速度为130米/分钟，山路AC的长为1260米，经测量，。（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19、（本小题满分16分）设是首项为、公差为的等差数列，为其前项和。记，其中c为实数。（1）若c=0，且成等比数列，证明：（2）若为等差数列，证明：c=0。20、（本小题满分16分）设函数，其中为实数。（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC。求证：AC=2AD。B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵，求矩阵．C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（为参数）。试求直线和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知≥＞0，求证：≥。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱中，AB⊥AC，AB=AC=2，=4，点D是BC的中点。（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值。23．（本小题满分10分）设数列：1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4，-4，…，，…即当时，。记。对于，定义集合=﹛|为的整数倍，且1≤≤}(1)求中元素个数；(2)求集合中元素个数。参考答案1．【答案】π【解析】T＝|eq\f(2π,ω)|＝|eq\f(2π,2)|＝π．2．【答案】5【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝QUOTE＝5．3．【答案】【解析】令：，得．4．【答案】8【解析】23＝8．5．【答案】3【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．6．【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：．方差为：．7．【答案】【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则都取到奇数的概率为．8．【答案】1：24【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3．所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24．9．【答案】[—2，eq\f(1,2)]【解析】抛物线在处的切线易得为y＝2x—1，令z＝，y＝—eq\f(1,2)x＋eq\f(z,2)．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(eq\f(1,2)，0)时，zmax＝eq\f(1,2)．yxOy＝2x—1y＝—eq\f(1,2)x10．【答案】eq\f(1,2)【解析】所以，，，eq\f(1,2)．11．【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)【解析】做出()的图像，如下图所示。由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。xyy＝xy＝x2—4xP(5,5)Q(﹣5,﹣5)yxlBFOcba12．【答案】【解析】如图，l：x＝，＝－c＝，由等面积得：＝。若，则＝，整理得：，两边同除以：，得：，解之得：＝，所以，离心率为：．13．【答案】1或【解析】14．【答案】12【解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，则：，得：a1＝eq\f(1,32)，q＝2，an＝26－n．记，．，则，化简得：，当时，．当n＝12时，，当n＝13时，，故nmax＝12．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，．（2），①2＋②2得：cos(α－β)＝－eq\f(1,2)．所以，α－β＝，α＝＋β，带入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋eq\f(1,2)sinβ＝sin(＋β)＝1，所以，＋β＝．所以，α＝，β＝．16．证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，所以F为SB的中点．又E，G分别为SA，SC的中点，所以，EF∥AB，EG∥AC．又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，所以，平面平面．（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF平面ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面SBC．又BC平面SBC，所以，AF⊥BC．又AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以，BC⊥平面SAB．又SA平面SAB，所以，．17．xyAlO解：（1）联立：，得圆心为：C(3，2)．设切线为：，d＝，得：．故所求切线为：．（2）设点M(x，y)，由，知：，化简得：，即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中．CBADMN解之得：0≤a≤eq\f(12,5)．18．解：（1）如图作BD⊥CA于点D，设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m．（2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如图所示．则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，其中0≤x≤8，当x＝eq\f(35,37)(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：eq\f(1260,50)＝eq\f(126,5)(min)．若甲等乙3分钟，则乙到C用时：eq\f(126,5)＋3＝eq\f(141,5)(min)，在BC上用时：eq\f(86,5)(min)．此时乙的速度最小，且为：500÷eq\f(86,5)＝eq\f(1250,43)m/min．若乙等甲3分钟，则乙到C用时：eq\f(126,5)－3＝eq\f(111,5)(min)，在BC上用时：eq\f(56,5)(min)．此时乙的速度最大，且为：500÷eq\f(56,5)＝eq\f(625,14)m/min．故乙步行的速度应控制在[eq\f(1250,43)，eq\f(625,14)]范围内．19．证：（1）若，则，，．当成等比数列，，即：，得：，又，故．由此：，，．故：（）．（2），．(※)若是等差数列，则型．观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而≠0，故．经检验，当时是等差数列．20．解：（1）≤0在上恒成立，则≥，．故：≥1．，若1≤≤e，则≥0在上恒成立，此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足．故的取值范围为：＞e．（2）≥0在上恒成立，则≤ex，故：≤eq\f(1,e)．．(ⅰ)若0＜≤eq\f(1,e)，令＞0得增区间为(0，eq\f(1,a))；令＜0得减区间为(eq\f(1,a)，﹢∞)．当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；当x＝eq\f(1,a)时，f(eq\f(1,a))＝﹣lna－1≥0，当且仅当＝eq\f(1,e)时取等号．故：当＝eq\f(1,e)时，f(x)有1个零点；当0＜＜eq\f(1,e)时，f(x)有2个零点．(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．(ⅲ)若a＜0，则在上恒成立，即：在上是单调增函数，当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．此时，f(x)有1个零点．综上所述：当＝eq\f(1,e)或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜＜eq\f(1,e)时，f(x)有2个零点．